Численные методы в примерах и задачах, Киреев В.И., Пантелеев А.В., 2015

Численные методы в примерах и задачах, Киреев В.И., Пантелеев А.В., 2015.

   Пособие охватывает классические разделы численного анализа: методы алгебры, теории приближения функций одной переменной с их приложениями, разностные методы решения задач Коши и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, численные методы решения уравнений математической физики с двумя и тремя независимыми переменными. Наряду с традиционными методами изложены новые экономичные, устойчивые и простые в реализации методы приближения функций, численного дифференцирования и интегрирования, решения задачи Коши, основанные на применении интегрально-дифференциальных сплайнов.
В каждом разделе кратко изложены основные теоретические сведения, приведены решения типовых примеров и задачи для самостоятельного решения. Учебное пособие поддерживает компетентностную модель обучения: содержит модели требуемых знаний и умений решать типовые задачи предмета.
Для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная математика» и для других математических, инженерно-технических и авиационных специальностей вузов, а также для аспирантов и научных работников.




ПОНЯТИЕ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ.
Проектирование и отработка современных летательных аппаратов, их отдельных узлов и блоков, а также других технических систем связаны с теоретическими расчетами и исследованиями, предваряющими выбор определяющих параметров конструкций. Эти расчеты проводятся с использованием вычислительных средств (компьютеров и их систем) и вычислительных методов. При этом обычно выполняются следующие этапы.

1. Физическая постановка задачи. Результатом этого этапа является общая формулировка задачи в содержательных терминах, т. е. что дано и что требуется определить. Например, рассчитать траекторию полета ракеты при заданных тяге двигателей, массе ракеты, ее аэродинамических характеристиках, при определенных метеоусловиях и др. Как правило, этот этап выполняется специалистом в конкретной предметной области.

2. Поиск, выбор или модификация некоторой математической модели, адекватной физической постановке задачи. На этом этапе осуществляются:
• выделение (запись) основных математических уравнений, соотношений, аппроксимационных формул, описывающих задачу;
• выделение (запись) дополнительных математических уравнений, связей, граничных или краевых условий;
• предварительное (априорное) обоснование математической модели.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение.
В.1. Понятие о численных методах.
В.2. Погрешности вычислений.
В.3. Некоторые понятия математического анализа, использующиеся в численных методах.
В.4. Дискретизация и принцип соответствия порядков аппроксимации дискретных моделей для интегралов, функций и производных.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ.
Глава первая Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
1.1. Постановка задачи.
1.2. Прямые методы.
1.2.1. Метод Гаусса.
1.2.2. Метод прогонки.
1.2.3. Метод LU-разложения.
1.3. Итерационные методы.
1.3.1. Метод простых итераций.
1.3.2. Метод Зейделя.
Глава вторая Методы решения задач о собственных значениях и собственных векторах матриц.
2.1. Постановка задачи.
2.2. Метод непосредственного развертывания.
2.3. Метод итераций.
2.4. Метод вращений.
Глава третья Методы решения нелинейных уравнений и систем.
3.1. Методы решения нелинейных уравнений.
3.1.1. Постановка задачи.
3.1.2. Отделение корней.
3.1.3. Метод половинного деления.
3.1.4. Метод хорд.
3.1.5. Метод простых итераций.
3.1.6. Метод Ньютона.
3.1.7. Модификации метода Ньютона.
3.2. Методы решения систем нелинейных уравнений.
3.2.1. Постановка задачи.
3.2.2. Метод простых итераций.
3.2.3. Метод Зейделя.
3.2.4. Метод Ньютона.
3.2.5. Модификации метода Ньютона.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ.
Глава четвертая Методы приближения сеточных функций.
4.1. Общая постановка задачи и классификация методов.
4.2. Методы функциональной интерполяции.
4.2.1. Постановка задачи.
4.2.2. Многочлен Лагранжа.
4.2.3. Многочлены Ньютона.
4.3. Методы интегрально=дифференциальной интерполяции.
4.3.1. Постановка задачи.
4.3.2. Интерполяционный параболический интегрально-функциональный многочлен.
4.3.3. Интерполяционный параболический интегрально-дифференциальный многочлен.
4.4. Методы интегрального сглаживания.
4.4.1. Постановка задачи.
4.4.2. Метод наименьших квадратов.
4.4.3. Метод наилучшего интегрального приближения.
4.5. Методы интерполяции и сглаживания на основе сплайнов.
4.5.1. Постановка задачи и основные положения.
4.5.2. Интерполяционные дифференциальные кубические сплайны.
4.5.3. Интерполяционные дифференциальные параболические сплайны.
4.5.4. Восстанавливающие, интерполяционные и сглаживающие интегрально-дифференциальные параболические сплайны.
4.5.5. Слабо сглаживающие интерполяционные интегрально-дифференциальные параболические сплайны.
Глава пятая Методы численного дифференцирования и интегрирования.
5.1. Постановка задачи и принципы конструирования аппроксимационных формул.
5.2. Методы численного дифференцирования.
5.2.1. Формулы, полученные на основе разложения функций по формуле Тейлора.
5.2.2. Формулы, полученные на основе разложения первообразных по формуле Тейлора.
5.2.3. Формулы, полученные на основе сплайнов.
5.3. Методы численного интегрирования.
5.3.1. Формулы, полученные на основе интерполяционных многочленов.
5.3.2. Формулы, полученные на основе сплайнов.
5.3.3. Формулы, полученные на основе разложения первообразных по формуле Тейлора.
5.4. Метод Рунге уточнения результатов численного дифференцирования и интегрирования.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Глава шестая Методы решения задачи Коши.
6.1. Постановка задачи и основные положения.
6.2. Принципы построения разностных схем.
6.2.1. Принцип аппроксимаций.
6.2.2. Интегрально>интерполяционный принцип.
6.2.3. Принцип согласования с разложением по формуле Тейлора.
6.2.4. Принцип аналогий.
6.3. Составные схемы.
6.4. Экстраполяционные методы.
6.5. Непрерывно-дискретные методы.
6.5.1. Конструирование последовательных сплайн>методов.
6.5.2. Схема второго порядка.
6.5.3. Схема третьего порядка.
Глава седьмая Методы решения краевых задач.
7.1. Постановка задачи и основные положения.
7.2. Метод сеток.
7.3. Методы минимизации невязки.
7.4. Методы сведения краевой задачи к задаче Коши.
7.4.1. Метод стрельбы.
7.4.2. Метод дифференциальной прогонки.
7.5. Метод конечных элементов.
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.
Глава восьмая Численные методы решения уравнений математической физики с двумя независимыми переменными.
8.1. Постановка задачи и основные положения.
8.2. Принципы построения разностных схем.
8.3. Разностные методы решения уравнений первого порядка.
8.4. Разностные методы решения уравнений второго порядка.
8.4.1. Разностные методы решения уравнений параболического типа.
8.4.2. Разностные методы решения уравнений гиперболического типа.
8.4.3. Разностные методы решения уравнений эллиптического типа.
8.5. Метод прямых.
8.6. Метод характеристик.
8.7. Метод Годунова.
Глава девятая Численные методы решения уравнений математической физики с тремя независимыми переменными.
9.1. Постановка задачи и основные положения.
9.2. Разностный метод.
9.3. Метод расщепления.
9.4. Метод переменных направлений.
9.5. Метод дробных шагов.
Литература.

КупитьКупить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Киреев :: Пантелеев