Методы оптимизации в примерах и задачах, Пантелеев А.В., Летова Т.А., 2008

Методы оптимизации в примерах и задачах, Пантелеев А.В., Летова Т.А., 2008.

   Рассмотрены аналитические методы решения задач поиска экстремума функций многих переменных на основе необходимых и достаточных условий. Изложены численные методы нулевого, первого и второго порядков решения задач безусловной минимизации, а также численные методы поиска условного экстремума. Описаны алгоритмы решения задач линейного программирования, целочисленного программирования, транспортных задач. Приведены методы решения задач поиска безусловного и условного экстремумов функционалов на основе метода вариаций.
В каждом разделе кратко изложены основные теоретические сведения, приведены решения типовых примеров и задачи для самостоятельного решения.
Для студентов высших технических учебных заведений.




МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ.
Существуют две принципиально различные стратегии выбора точек в которых производится вычисление значений функции. Если все точки задаются заранее, до начала вычислений, - это пассивная (параллельная) стратегия Если эти точки выбираются последовательно в процессе поиска с учетом результатов предыдущих вычислений,- это последовательная стратегия. Примером реализации пассивной стратегии является метод равномерного поиска (см. разд. 5.1.1).

Последовательную стратегию можно реализовать следующими способами:
а) применением квадратичной и кубической интерполяции, где по нескольким вычисленным значениям функции строится интерполяционный полином, а его минимум указывает на очередное приближение искомой точки экстремума (см. разд. 5.1.7 и 6.7);
б) построением последовательности вложенных друг в друга интервалов, каждый из которых содержит точку минимума (см. разд. 5.1.3 - 5.1.6).

Стратегия поиска включает в себя три этапа:
1. Выбор начального интервала неопределенности. Границы а0, b0 интервала должны быть такими, чтобы функция f(x) была унимодальной (см. определение 5.1).
2. Уменьшение интервала неопределенности.
3. Проверку условия окончания. Поиск заканчивается, когда длина текущего интервала неопределенности [ak,bk] оказывается меньше установленной величины.

Оглавление.
Глава I. Условия экстремума функций.
§1. Общая постановка задачи оптимизации и основные положения.
§2. Необходимые и достаточные условия безусловного экстремума.
§3. Необходимые и достаточные условия условного экстремума.
3.1. Постановка задачи и основные определения.
3.2. Условный экстремум при ограничениях типа равенств.
3.3. Условный экстремум при ограничениях типа неравенств.
3.4. Условный экстремум при смешанных ограничениях.
Глава II. Численные методы поиска безусловного экстремума.
§4. Принципы построения численных методов поиска безусловного экстремума.
§5. Методы нулевого порядка.
5.1. Методы одномерной минимизации.
5.1.1. Постановка задачи и стратегии поиска.
5.1.2. Метод равномерного поиска.
5.1.3. Метод деления интервала пополам.
5.1.4. Метод дихотомии.
5.1.5. Метод золотого сечения.
5.1.6. Метод Фибоначчи.
5.1.7. Метод квадратичной интерполяции.
5.2. Метод конфигураций.
5.3. Метод деформируемого многогранника.
5.4. Метод Розенброка.
5.5. Метод сопряженных направлений.
5.6. Методы случайного поиска.
5.6.1. Адаптивный метод случайного поиска.
5.6.2. Метод случайного поиска с возвратом при неудачном шаге.
5.6.3. Метод наилучшей пробы.
§6. Методы первого порядка.
6.1. Метод градиентного спуска с постоянным шагом.
6.2. Метод наискорейшего градиентного спуска.
6.3. Метод покоординатного спуска.
6.4. Метод Гаусса-Зейделя.
6.5. Метод Флетчера-Ривса.
6.6. Метод Дэвидона- Флетчера-Пауэлла.
6.7. Метод кубической интерполяции.
§7. Методы второго порядка.
7.1. Метод Ньютона.
7.2. Метод Ньютона-Рафсона.
7.3. Метод Марквардта.
Глава III. Численные методы поиска условного экстремума.
§8. Принципы построения численных методов поиска условного экстремума.
§9. Методы последовательной безусловной минимизации.
9.1. Метод штрафов.
9.2. Метод барьерных функций.
9.3. Комбинированный метод штрафных функций.
9.4. Метод множителей.
9.5. Метод точных штрафных функций.
§10. Методы возможных направлений.
10.1. Метод проекции градиента.
10.2. Метод Зойтендейка.
Глава IV. Задачи линейного программирования.
§11. Методы решения задач линейного программирования.
11.1. Симплекс-метод Данцига.
11.1.1. Решение канонической задачи.
11.1.2. Решение основной задачи.
11.2. Двухфазный симплекс-метод.
§12. Методы решения задач линейного целочисленного программирования.
12.1. Метод ветвей и границ.
12.2. Метод Гомори.
§13. Методы решения транспортных задач.
13.1. Постановка задачи и стратегия решения.
13.2. Методы нахождения начального плана перевозок.
13.2.1. Метод северо-западного угла.
13.2.2. Метод минимального элемента.
13.3. Метод потенциалов.
Глава V. Задачи вариационного исчисления.
§14. Общая постановка задачи и основные положения.
§15. Вариационные задачи поиска безусловного экстремума.
15.1. Метод вариаций в задачах с неподвижными границами.
15.2. Метол вариаций в задачах с подвижными границами.
§16. Вариационные задачи поиска условного экстремума.
16.1. Задачи на условный экстремум с конечными связями.
16.2. Задачи на условный экстремум с дифференциальными связями.
16.3. Задачи на условный экстремум с интегральными связями.
Изопериметрические задачи.
Литература.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Пантелеев :: Летова