Численные методы в примерах и задачах, Киреев В.И., Пантелеев А.В., 2008

Численные методы в примерах и задачах, Киреев В.И., Пантелеев А.В., 2008.

  Пособие охватывает классические разделы численного анализа: методы алгебры, теории приближения функций одной переменной с их приложениями, разностные методы решения задач Коши и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, численные методы решения уравнений математической физики с двумя и тремя независимыми переменными. Впервые в учебной литературе наряду с традиционными методами изложены новые экономичные, устойчивые и простые в реализации методы приближения функций, численного дифференцирования и интегрирования, решения задачи Коши, основанные на применении интегрально-дифференциальных сплайнов.
Для студентов математических, инженерно-технических и авиационных специальностей вузов и университетов, аспирантов и научных работников.




Погрешности вычислений.
Один из типов погрешностей обусловлен неадекватностью выбранной математической модели исходной физической. Эта неадекватность в большей или меньшей степени присуща всем приближенно решаемым задачам. Данная погрешность является неустранимой, и она определяется апостериорным путем (на шестом этапе решения задачи (см. рис. В. 1)). Остальные три типа погрешностей являются сугубо вычислительными и обусловлены следующими причинами.

Неточность (неопределенность) задания исходных данных приводит также к неустранимым погрешностям, связанным с точностью измерений или вычислений, или округлением данных.

Если мы устраним неопределенность в исходных данных, например, путем их фиксирования, и найдем решение с помощью какого-либо численного метода, то получим результат, не в точности соответствующий исходным данным. Это есть погрешность численного или какого-либо другого приближенного метода (например, приближенно-аналитического); именно такие погрешности будут оцениваться при рассмотрении численных методов. Эти оценки могут получаться до выполнения вычислений (априорные оценки) и после них (апостериорные оценки).

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение.
Часть I. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ.
Глава 1. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
1.1. Постановка задачи.
1.2. Прямые методы.
1.2.1. Метод Гаусса.
1.2.2. Метод прогонки.
1.2.3. Метод LU-разложения.
1.3. Итерационные методы.
1.3.1. Метод простых итераций.
1.3.2. Метод Зейделя.
Глава 2. Методы решения задач о собственных значениях и собственных векторах матриц.
2.1. Постановка задачи.
2.2. Метод непосредственного развертывания.
2.3. Метод итераций.
2.4. Метод вращений.
Глава 3. Методы решения нелинейных уравнений и систем.
3.1. Методы решения нелинейных уравнений.
3.1.1. Постановка задачи.
3.1.2. Отделение корней.
3.1.3. Метод половинного деления.
3.1.4. Метод хорд.
3.1.5. Метод простых итераций.
3.1.6. Метод Ньютона.
3.1.7. Модификации метода Ньютона.
3.2. Методы решения систем нелинейных уравнений.
3.2.1. Постановка задачи.
3.2.2. Метод простых итераций.
3.2.3. Метод Зейделя.
3.2.4. Метод Ньютона.
3.2.5. Модификации метода Ньютона.
Часть II. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ.
Глава 4. Методы приближения сеточных функций.
4.1. Общая постановка задачи и классификация методов.
4.2. Методы функциональной интерполяции.
4.2.1. Постановка задачи.
4.2.2. Многочлен Лагранжа.
4.2.3. Многочлены Ньютона.
4.3. Методы интегрально-дифференциальной интерполяции.
4.3.1. Постановка задачи.
4.3.2. Интерполяционный параболический интегрально-функциональный многочлен.
4.3.3. Интерполяционный параболический интегрально-дифференциальный многочлен.
4.4. Методы интегрального сглаживания.
4.4.1. Постановка задачи.
4.4.2. Метод наименьших квадратов.
4.4.3. Метод наилучшего интегрального приближения.
4.5. Методы интерполяции и сглаживания на основе сплайнов.
4.5.1. Постановка задачи и основные положения.
4.5.2. Интерполяционные дифференциальные кубические сплайны.
4.5.3. Интерполяционные дифференциальные параболические сплайны.
4.5.3. Интерполяционные дифференциальные параболические сплайны.
4.5.4. Восстанавливающие, интерполяционные и сглаживающие интегрально-дифференциальные параболические сплайны.
4.5.5. Слабо сглаживающие интерполяционные интегрально-дифференциальные параболические сплайны.
Глава 5. Методы численного дифференцирования и интегрирования.
5.1. Постановка задачи и принципы конструирования аппроксимационных формул.
5.2. Методы численного дифференцирования.
5.2.1. Формулы, полученные на основе разложения функций по формуле Тейлора.
5.2.2. Формулы, полученные на основе разложения первообразных по формуле Тейлора.
5.2.3. Формулы, полученные на основе сплайнов.
5.3. Методы численного интегрирования.
5.3.1. Формулы, полученные на основе интерполяционных многочленов.
5.3.2. Формулы, полученные на основе сплайнов.
5.3.3. Формулы, полученные на основе разложения первообразных по формуле Тейлора.
5.4. Метод Рунге уточнения результатов численного дифференцирования и интегрирования.
Часть III. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Глава 6. Методы решения задачи Коши.
6.1. Постановка задачи и основные положения.
6.2. Принципы построения разностных схем.
6.2.1. Принцип аппроксимаций.
6.2.2. Интегрально-интерполяционный принцип.
6.2.3. Принцип согласования с разложением по формуле Тейлора.
6.2.4. Принцип аналогий.
6.3. Составные схемы.
6.4. Экстраполяционные методы.
6.5. Непрерывно-дискретные методы.
6.5.1. Конструирование последовательных сплайн-методов.
6.5.2. Схема второго порядка.
6.5.3. Схема третьего порядка.
Глава 7. Методы решения краевых задач.
7.1. Постановка задачи и основные положения.
7.2. Метод сеток.340
7.3. Методы минимизации невязки.
7.4. Методы сведения краевой задачи к задаче Коши.
7.4.1. Метод стрельбы.354
7.4.2. Метод дифференциальной прогонки.
7.5. Метод конечных элементов.361
Часть IV. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.
Глава 8. Численные методы решения уравнений математической физики с двумя независимыми переменными.
8.1. Постановка задачи и основные положения.
8.2. Принципы построения разностных схем.
8.3. Разностные схемы решения уравнений первого порядка.
8.4. Разностные схемы решения уравнений второго порядка.
8.4.1. Разностные схемы решения дифференциальных уравнений параболического типа.
8.4.2. Разностные схемы решения дифференциальных уравнений гиперболического типа.
8.4.3. Разностные схемы решения дифференциальных уравнений эллиптического типа.
8.5. Метод прямых.
8.6. Метод характеристик.
8.7. Метод Годунова.
Глава 9. Численные методы решения уравнений математической физики с тремя независимыми переменными.
9.1. Постановка задачи и основные положения.
9.2. Разностный метод.
9.3. Метод расщепления.
9.4. Метод переменных направлений.
9.5. Метод дробных шагов.
Литература.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Киреев :: Пантелеев :: метод Зейделя