Решебник к сборнику задач по курсу математического анализа Бермана, 2011

Решебник к сборнику задач по курсу математического анализа Бермана, 2011.

   Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих математический анализ в объеме программы для высших технических учебных заведений. «Сборник» содержит систематически подобранные задачи и упражнения к основным разделам курса математического анализа.
Настоящая книга — значительно расширенный вариант известного «Сборника задач по курсу математического анализа» того же автора. По сравнению с двадцать вторым изданием «Сборника» (2002 г.) добавлен обширный раздел с решениями типичных, а также наиболее трудных задач. Кроме того, для удобства пользования пособием в начале каждого параграфа приведены краткие теоретические сведения, необходимые для решения задач. Количество решенных задач составляет примерно пятую часть общего их числа, поэтому задачник может использоваться при самостоятельной подготовке студентов.




Область определения функции.
Если функция задана формулой, наибольшее множество, для всех элементов которого эта формула имеет смысл, называется (естественной) областью определения данной функции. Область определения функции f обозначается Df. Множество значений функции обозначается Ef.

Из трех материальных отрезков, длины которых равны 1; 2; 1 единицам длины, а массы соответственно равны 2; 3; 1 единицам массы, составлен брус (рис. 1.4). Масса переменного отрезка AM длины x есть функция от х. При каких значениях х определена эта функция? Составить ее аналитическое выражение и построить график.

Башня имеет следующую форму: на прямой круглый усеченный конус с радиусами оснований 2R (нижнего) и R (верхнего) и высотой R поставлен цилиндр радиуса R и высоты 2R; на цилиндре — полусфера радиуса R. Выразить площадь S поперечного сечения башни как функцию расстояния х сечения от нижнего основания конуса. Построить график функции S = f(x).

В шар радиуса R вписывается цилиндр. Найти функциональную зависимость объема V цилиндра от его высоты х. Указать область определения этой функции.

СОДЕРЖАНИЕ.
Предисловие к 22-му изданию.
Глава 1. Функция.
§1.1. Первоначальные сведения о функции.
1.1.1. Функции и способы их задания.
1.1.2. Сложные и неявно заданные функции.
§1.2. Простейшие свойства функций.
1.2.1. Область определения функции.
1.2.2. Элементы поведения функции.
§1.3. Элементарные функции. Обратная функция.
Глава 2. Предел. Непрерывность.
§2.1. Основные определения.
2.1.1. Функции целочисленного аргумента.
2.1.2. Функции непрерывного аргумента.
§2.2. Бесконечные величины. Признаки существования предела.
2.2.1. Бесконечные величины.
2.2.2. Признаки существования предела.
§2.3. Непрерывные функции.
§2.4. Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых
2.4.1. Функции целочисленного аргумента.
2.4.2. Функция непрерывного аргумента.
2.4.3. Сравнение бесконечно малых.
2.4.4. Некоторые геометрические задачи.
2.4.5. Вычислительные задачи.
Глава 3. Производная и дифференциал. Дифференциальное исчисление.
§3.1. Производная. Скорость изменения функции.
3.1.1. Некоторые задачи физики.
3.1.2. Производная функция.
3.1.3. Геометрический смысл производной.
§3.2. Дифференцирование функций.
3.2.1. Степенные функции.
3.2.2. Тригонометрические функции.
3.2.3. Обратные тригонометрические функции.
3.2.4. Логарифмические функции.
3.2.5. Показательные функции.
3.2.6. Гиперболические функции.
3.2.7. Логарифмическое дифференцирование.
3.2.8. Разные функции.
3.2.9. Обратные функции.
3.2.10. Функции, заданные неявно.
3.2.11. Применения производной.
§3.3. Дифференциал. Дифференцируемость функции.
3.3.1. Дифференциал.
3.3.2. Дифференцируемость функций.
§3.4. Производная как скорость изменения (дальнейшие примеры).
3.4.1. Относительная скорость.
3.4.2. Функции, заданные параметрически.
3.4.3. Скорость изменения полярного радиуса.
3.4.4. Скорость изменения длины.
3.4.5. Скорость движения.
§3.5. Повторное дифференцирование.
3.5.1. Функции, заданные в явном виде.
3.5.2. Функции, заданные в неявном виде.
3.5.3. Функции, заданные параметрически.
3.5.4. Ускорение движения.
3.5.5. Формула Лейбница.
3.5.6. Дифференциалы высших порядков.
Глава 4. Исследование функций и их графиков.
§4.1. Поведение функции.
§4.2. Применение первой производной.
4.2.1. Теоремы Ролля и Лагранжа.
4.2.2. Поведение функций в интервале.
4.2.3. Неравенства.
4.2.4. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций.
§4.3. Применение второй производной.
4.3.1. Экстремумы.
4.3.2. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
§4.4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений.
4.4.1. Теорема Коши и правило Лопиталя.
4.4.2. Асимптотическое изменение функций и асимптоты линий.
4.4.3. Общее исследование функций и линий.
4.4.4. Решение уравнений.
§4.5. Формула Тейлора и ее применение.
4.5.1. Формула Тейлора для многочленов.
4.5.2. Формула Тейлора.
4.5.3. Некоторые применения формулы Тейлора.
§4.6. Кривизна.
Глава 5. Определенный интеграл.
§5.1. Определенный интеграл и его простейшие свойства.
5.1.1. Вычисление интегралов суммированием.
§5.2. Основные свойства определенного интеграла.
5.2.1. Геометрическая интерпретация определенного интеграла.
5.2.2. Оценка интеграла.
5.2.3. Среднее значение функции.
5.2.4. Интеграл с переменным пределом.
5.2.5. Формула Ньютона-Лейбница.
Глава 6. Неопределенный интеграл. Интегральное исчисление.
§6.1. Простейшие приемы интегрирования.
§6.2. Основные методы интегрирования.
6.2.1. Интегрирование по частям.
6.2.2. Замена переменной.
6.2.3. Разные задачи.
§6.3. Основные классы интегрируемых функций.
6.3.1. Дробно-рациональные функции.
6.3.2. Некоторые иррациональные функции.
6.3.3. Тригонометрические функции.
6.3.4. Гиперболические функции.
6.3.5. Рациональные функции от х и /ax2 + bx + с.
6.3.6. Разные функции.
Глава 7. Способы вычисления определенных интегралов. Несобственные интегралы.
§7.1. Способы точного вычисления интегралов.
7.1.1. Непосредственное применение формулы Ньютона-Лейбница.
7.1.2. Замена переменной в определенном интеграле.
7.1.3. Разные задачи.
§7.2. Приближенные методы.
§7.3. Несобственные интегралы.
7.3.1. Интегралы с бесконечными пределами.
7.3.2. Интегралы от функций с бесконечными разрывами.
7.3.3. Разные задачи.
Глава 8. Применения интеграла.
§8.1. Некоторые задачи геометрии и статики.
8.1.1. Площадь фигуры.
8.1.2. Длина линии.
8.1.3. Объем тела.
8.1.4. Площадь поверхности вращения.
8.1.5. Моменты и центр масс.
8.1.6. Теоремы Гульдина.
§8.2. Некоторые задачи физики.
Глава 9. Ряды.
§9.1. Числовые ряды.
9.1.1. Сходимость числового ряда.
9.1.2. Ряды с положительными членами.
9.1.3. Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость.
§9.2. Функциональные ряды.
9.2.1. Сходимость функциональных рядов.
9.2.2. Равномерная (правильная) сходимость.
9.2.3. Интегрирование и дифференцирование рядов.
§9.3. Степенные ряды.
9.3.1. Разложение функции в степенные ряды.
9.3.2. Интервал сходимости.
§9.4. Некоторые применения рядов Тейлора.
9.4.1. Вычисления приближенных значений функций.
9.4.2. Решение уравнений.
9.4.3. Интегрирование функций.
9.4.4. Разные задачи.
Глава 10. Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление.
§10.1. Функции нескольких переменных.
§10.2. Простейшие свойства функции.
10.2.1. Область определения.
10.2.2. Предел. Непрерывность функции.
10.2.3. Линии и поверхности уровня.
§10.3. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных.
10.3.1. Частные производные.
10.3.2. Дифференциалы. Приближенные вычисления.
10.3.3. Применения к вычислениям.
§10.4. Дифференцирование функций.
10.4.1. Сложная функция.
10.4.2. Неявно и параметрически заданные функции.
§10.5. Повторное дифференцирование.
10.5.1. Замена переменных.
Глава 11. Применения дифференциального исчисления функций нескольких переменных.
§11.1. Формула Тейлора. Экстремумы функций нескольких переменных.
11.1.1. Формула Тейлора.
11.1.2. Экстремумы.
11.1.3. Наибольшие и наименьшие значения.
11.1.4. Условные экстремумы.
§11.2. Плоские линии.
11.2.1. Касательные и нормали.
11.2.2. Особые точки.
11.2.3. Огибающие.
§11.3. Векторная функция скалярного аргумента. Линии в пространстве. Поверхности.
11.3.1. Векторная функция скалярного аргумента.
11.3.2. Пространственные линии.
11.3.3. Длина дуги пространственной линии.
11.3.4. Поверхности.
§11.4. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению.
11.4.1. Градиент.
11.4.2. Производная по направлению.
Глава 12. Многомерные интегралы и кратное интегрирование.
§12.1. Двойные и тройные интегралы.
§12.2. Кратное интегрирование.
12.2.1. Двойной интеграл. Прямоугольная область.
12.2.2. Двойной интеграл. Произвольная область.
12.2.3. Тройной интеграл.
§12.3. Интегралы в полярных, цилиндрических и сферических координатах.
12.3.1. Двойной интеграл.
12.3.2. Тройной интеграл.
§12.4. Применение двойных и тройных интегралов.
12.4.1. Объем тела. I.
12.4.2. Площадь плоской фигуры.
12.4.3. Объем тела. II.
12.4.4. Площадь поверхности.
12.4.5. Моменты и центр масс.
12.4.6. Разные задачи.
§12.5. Несобственные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра.
12.5.1. Несобственные двойные и тройные интегралы.
12.5.2. Интегралы, зависящие от параметра. Правило Лейбница.
12.5.3. Разные задачи.
Глава 13. Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности.
§13.1. Криволинейные интегралы по длине.
13.1.1. Вычисление интегралов.
13.1.2. Применения интегралов.
§13.2. Криволинейные интегралы по координатам.
13.2.1. Вычисление интегралов.
13.2.2. Формула Грина.
13.2.3. Независимость интеграла от контура интегрирования. Отыскание первообразной.
13.2.4. Применения интегралов.
13.2.5. Работа.
§13.3. Интегралы по поверхности.
13.3.1. Интегралы по площади поверхности.
13.3.2. Поверхностные интегралы по координатам.
13.3.3. Формула Стокса.
13.3.4. Формула Остроградского.
Глава 14. Дифференциальные уравнения.
§14.1. Уравнения первого порядка.
14.1.1. Уравнения с разделяющимися переменными.
14.1.2. Однородные уравнения.
14.1.3. Линейные уравнения.
14.1.4. Разные задачи (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные).
14.1.5. Другие примеры уравнений первого порядка.
14.1.6. Уравнения в полных дифференциалах.
14.1.7. Интегрирующий множитель.
14.1.8. Разные задачи.
§14.2. Уравнения первого порядка (продолжение).
14.2.1. Поле направлений. Изоклины.
14.2.2. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений.
14.2.3. Особые решения. Уравнения Клеро и Лагранжа.
14.2.4. Ортогональные и изогональные траектории и эвольвенты.
§14.3. Уравнения второго и высших порядков.
14.3.1. Частные случаи уравнений второго порядка.
14.3.2. Частные случаи уравнений более высоких порядков.
14.3.3. Приближенные решения.
§14.4. Линейные уравнения.
14.4.1. Уравнения с постоянными коэффициентами.
14.4.2. Уравнения высших порядков.
§14.5. Системы дифференциальных уравнений.
§14.6. Вычислительные задачи.
Глава 15. Тригонометрические ряды.
§15.1. Тригонометрические многочлены.
§15.2. Ряды Фурье.
§15.3. Метод Крылова. Гармонический анализ.
Глава 16. Элементы теории поля.
§16.1. Векторное поле, дивергенция и ротор.
§16.2. Потенциал.
§16.3. Потенциал силы притяжения.
§16.4. Поток и циркуляция (плоский случай).
§16.5. Поток и циркуляция (пространственный случай).
Ответы.
К главе 1.
К главе 2.
К главе 3.
К главе 4.
К главе 5.
К главе 6.
К главе 7.
К главе 8.
К главе 9.
К главе 10.
К главе 11.
К главе 12.
К главе 13.
К главе 14.
К главе 15.
К главе 16.
Решения.
К главе 1.
К главе 2.
К главе 3.
К главе 4.
К главе 5.
К главе 6.
К главе 7.
К главе 8.
К главе 9.
К главе 10.
К главе 11.
К главе 12.
К главе 13.
К главе 14.
К главе 15.
К главе 16.

Купить .





Теги: решебник по математике :: математика