Математика для экономистов, линейная алгебра, курс лекций, Малугин В.А., 2006

Математика для экономистов, Линейная алгебра, Курс лекций, Малугин В.А., 2006.

   Книга входит в состав учебного комплекса «Математика для экономистов», специально созданного для экономических вузов страны экономическим факультетом МГУ им. М.В. Ломоносова. Ее цель — в ясной и удобной для восприятия форме дать студенту-экономисту весь объем необходимых ему математических знаний в части линейной алгебры. При этом студент четко сориентирован, для чего и когда ему будет полезно знание тех или иных разделов дисциплины: для решения каких экономических задач нужна матричная алгебра, как с помощью систем линейных уравнений можно построить модель многоотраслевой экономики, какие методы оптимизации позволяют решить задачу максимизации прибыли и т.д.
Издание предназначено для студентов и преподавателей экономических факультетов и вузов.




Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
Многоотраслевое хозяйство требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль является, с одной стороны, производителем одного определенного набора видов продукции, а с другой — потребителем другого набора видов продукции. Возникает сложная задача: согласовать объемы производства каждой из отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукте каждой отрасли. Эта задача может быть сформулирована в виде экономико-математической модели межотраслевого баланса (модели Леонтьева), требующей привлечения аппарата матричной алгебры.

Рассмотрим для определенности производственную сферу из п отраслей, каждая из которых производит один (свой) продукт. Выделим определенный период времени, например год, в течение которого все коэффициенты остаются постоянными.

СОДЕРЖАНИЕ.
Предисловие.
ГЛАВА 1. МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА.
§1.1. Матрицы.
Основные сведения о матрицах.
Виды матриц.
§1.2. Операции над матрицами.
Умножение числа на матрицу.
Сложение матриц одинакового размера.
Вычитание матриц одинакового размера.
Умножение матрицы на матрицу.
Возведение матрицы в целую положительную степень.
Транспонирование матрицы.
Свойства транспонирования матрицы.
§1.3. Определители квадратных матриц.
Введение определителя.
Свойства определителей.
Вычисление определителя.
§1.4. Обратная матрица.
Теорема о существовании обратной матрицы.
Свойства обратных матриц.
§1.5. Матрицы элементарных преобразований.
Типы матриц элементарных преобразований.
Элементарные преобразования матрицы.
Способ построения обратной матрицы.
§1.6. Ранг матрицы.
Определение ранга матрицы.
Ранг матрицы при элементарных преобразованиях.
Линейные комбинации строк или столбцов.
Связь ранга с числом независимых строк (столбцов).
Строка матрицы как линейная комбинация независимых строк матрицы.
Вопросы для повторения.
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
§2.1. Общие понятия системы линейных уравнений.
§2.2. Нахождение единственного решения системы линейных уравнений.
Метод обратной матрицы.
Метод с использованием расширенной матрицы.
Метод с использованием формул Крамера.
§2.3. Общий подход к решению систем уравнений.
Равносильность систем линейных уравнений при элементарных преобразованиях.
Метод Гаусса.
Теорема Кронекера — Капелли.
Схема решений системы уравнений.
§2.4. Базисные решения системы уравнений.
§2.5. Однородные системы линейных уравнений.
Свойства однородной системы линейных уравнений.
Фундаментальные решения.
§2.6. Общее решение системы неоднородных линейных уравнений.
§2.7. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
Вопросы для повторения.
ГЛАВА 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
§3.1. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы).
Линейные операции над векторами.
Координаты вектора.
Скалярное произведение векторов.
Свойства скалярного произведения.
Векторы в трехмерном пространстве.
§3.2. Линейные векторные пространства.
Понятие линейного векторного пространства.
Вектор в n-мерном пространстве.
Линейная зависимость и независимость векторов.
Свойства линейной зависимости векторов.
§3.3. Размерность. Базис векторного пространства.
Размерность векторного пространства.
Базис векторного пространства.
Разложение вектора по базису.
Дополнение до базиса.
§3.4. Переход к новому базису.
Матрица перехода к новому базису.
Свойства матрицы перехода.
§3.5. Линейные подпространства.
Линейные подпространства.
Сумма и пересечение линейных подпространств.
Свойства суммы и пересечения подпространств.
Линейная оболочка.
Свойства линейной оболочки.
§3.6. Евклидовы пространства.
Евклидовы пространства.
Свойства длины вектора.
Ортонормированная система векторов.
Ортогональное дополнение.
Свойства ортогонального дополнения.
Вопросы для повторения.
ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.
§4.1. Общие сведения о линейных отображениях.
Отображения.
Образ, ранг, ядро, дефект отображения.
Отображение базиса.
§4.2. Линейные операторы.
Линейные операторы и их свойства.
Структура линейного оператора.
Матрицы оператора в разных базисах.
Определитель оператора в разных базисах.
§4.3. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Собственные векторы и собственные значения.
Независимость собственных векторов.
§4.4. Симметричный оператор.
Симметричный оператор.
Ортогональность собственных векторов.
§4.5. Квадратичные формы.
Понятие квадратичной формы.
Связь между квадратичной формой и оператором.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Свойства канонических форм.
Критерий Сильвестра.
Вопросы для повторения.
ГЛАВА 5. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ.
§5.1. Векторные функции скалярного аргумента.
Определение векторной функции скалярного аргумента.
Предел и непрерывность векторной функции скалярного аргумента.
Дифференцирование векторной функции скалярного аргумента.
Свойства производной векторной функции скалярного аргумента.
Правила дифференцирования векторной функции скалярного аргумента.
§5.2. Векторные функции векторного аргумента.
Определение векторной функции векторного аргумента.
Потенциальное поле вектора.
Дифференцирование векторной функции векторного аргумента.
Вопросы для повторения.
ГЛАВА 6. КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ.
§6.1. Локальный экстремум.
Определение локального экстремума.
Необходимые условия локального экстремума.
Достаточные условия локального экстремума.
Использование квадратичных форм.
§6.2. Условный экстремум.
Определение условного экстремума.
Первый метод нахождения условного экстремума.
Второй метод нахождения условного экстремума (метод Лагранжа).
Геометрическая интерпретация необходимых условий для условного экстремума.
Окаймленный гессиан.
Последовательность действий при отыскании условных экстремумов функции двух переменных.
§6.3. Экстремум неявной функции.
§6.4. Глобальный экстремум.
§6.5. Экстремум в системах функций.
§6.6. Экстремум в системах неравенств.
§6.7. Оптимизация потребительского поведения (функция спроса).
§6.8. Максимизация прибыли в проектном анализе—
§6.9. Глобальный экстремум в задачах математического программирования.
Вопросы для повторения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Малугин