Геометрическая теория функций комплексной переменной, Курант Р., 1934

Геометрическая теория функций комплексной переменной, Курант Р., 1934.

   Предлагаемая вниманию читателя книга представляет собой в немецком оригинале вторую половину третьего тома немецкой серии „Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften".
В виду того, что обе половины этого тома написаны разными авторами и представляют каждая самостоятельное целое, взаимно дополняющее друг друга, Технико-теоретическое издательство решило издать переводы обеих частей тома отдельными книгами, первая из которых уже вышла в свет под заглавием: А. Гурвиц, Теория функций комплексной переменной и эллиптических функций.




Комплексные числа.
Приведем здесь без доказательства некоторые элементарные теоремы, относящиеся к основным понятиям теории функций. Эти теоремы должны быть знакомы читателю и в дальнейшем они будут предполагаться известными.

Комплексное число определяется как пара (а, b) „вещественных“ чисел а, b и обозначается также символом z = а+bi. Комплексное число a+( — b) i называется сопряженным с числом z = а+bi и обозначается символом z. Геометрически комплексное число a+bi обыкновенно изображают в некоторой плоскости точкой с прямоугольными координатами а и b. Часто поэтому говорят, не придавая этому существенного значения, о точке z = a+bi вместо того, чтобы говорить о числе z = а+bi.

ОГЛАВЛЕНИЕ.  
Введение.
Глава I. Предварительные понятия.
§1. Комплексные числа.
§2. Основные геометрические понятия.
§3. Криволинейные интегралы.
Глава II. Основы теории аналитических функций.
§1. Условие дифференцируемости.
§2. Обратная функция.
§3. Определенный интеграл аналитической функции.
§4. Теорема Коши.
§5. Интегралы в многосвязных областях.
§6. Примеры. Элементарные функции.
§7. Интегральная формула Коши.
§8. Конформное отображение.
Глава III. Следствия интегральной формулы Коши.
§1. Теорема о среднем арифметическом Принцип максимума и лемма Шварца.
§2. Некоторые неравенства. Теорема Лиувилля.
§3. Равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса.
§4. Ряды Тэйлора и Лорана.
§5. Приложения теоремы Коши и теоремы о вычетах.
§6. Принцип сходимости для аналитических функций.
§7. Связь с теорией потенциала.
§8. Представление аналитических и гармонических функций интегралов Пуассона.
§9. Следствия.
§10. Решение предельной задачи теории потенциала для круга.
§11. Граничные значения аналитической функции.
§12. Потоки.
Глава IV. Специальные функции и их особые точки.
§1. Особые точки и точки скрещивания.
§2. Наглядное представление особых простейших точек и точек скрещивания.
§3. Линейные функции.
§4. Функция С =zn.
§5. Функция С=1/2 (z+1/2).
§6. Логарифмическая и показательная функции.
§7. Тригонометрические функции.
§8. Степенная функция с произвольным показателем степени. Круговые двуугольники.
§9. Добавление. Геометрическое значение в пространстве линейных подстановок.
Глава V. Аналитическое продолжение и поверхности Римана.
§1. Понятие аналитического продолжения.
§2. Принцип непрерывности и принцип симметрии.
§3. Римановы поверхности аналитических функций.
§4. Алгебраические функции.
Глава VI. Конформное отображение односвязных однолистных областей.
§1. Предварительные замечания и вспомогательные теоремы.
§2. Доказательство теоремы Римана о конформном отображении.
§3. Теорема однозначности.
§4. Соответствие между контурами при конформном отображении.
§5. Функция Грина и предельная задача теории потенциала.
§6. Знакопеременная метода Шварца. Свойства непрерывности отображающих функций.
§7. Теоремы искажения.
§8. Приложения принципа максимума.
Глава VII. Специальные конформные отображения.
§1. Отображение произвольного многоугольника.
§2. Функции прямолинейного треугольника.
§3. Отображение прямоугольника. Эллиптические функции.
§4. Модулярные и автоморфные функции.
§5. Теорема Пикара.
§6. Другое доказательство теоремы Пикара.
§7. Отображение функции круговых многоугольников, как решение дифференциальных уравнений.
Глава VIII. Обобщение теоремы Римана. Принцип Дирихле.
§1. Эвристические изыскания. Плоскость с надрезами.
§2. Интеграл Дирихле и формула Грина.
§3. Принцип Дирихле.
§4. Постановка задачи в общем виде.
§5. Предельная задача и минимальный принцип для круга.
§6. Леммы.
§7. Решение минимальной задачи для специальных областей.
§8. Непрерывная зависимость потенциалов потока от области. Решение общей минимальной задачи.
§9. Конформное отображение на плоскость с надрезами.
§10. Единственность конформного отображения на плоскость с надрезами.
Глава IX. Дальнейшие теоремы существования теории функций.
§1. Analysis situs алгебраических Римановых поверхностей.
§2. Абелевы интегралы и алгебраические функции на заданной Римановой поверхности.
§3. Существование автоморфных функций с данной фундаментальной областью.
§4. Униформизация алгебраических и аналитических функций посредством автоморфных функций с предельным кругом.
§5. Конформное отображение подобных однолистных областей на круговые области. Теорема об униформизации с возвратными сечениями.
§6. Модули области, подобной однолистной.
§7. Общее понятие Римановой поверхности.
§8. Исторические указания к последним главам.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Курант