Математические беседы, Дынкин Е.Б., Успенский В.А., 2004

Математические беседы, Дынкин Е.Б., Успенский В.А., 2004.

   Учебное пособие написано по материалам школьного математического кружка при МГУ им. М.В. Ломоносова. В него вошли темы: многоцветная раскраска карт; задачи из теории чисел, решаемые при помощи арифметики вычетов; задачи из теории вероятностей, связанные со случайными блужданиями.
Для школьников, преподавателей, студентов подготовительных отделений и младших курсов вузов, а также для широкого круга лиц, интересующихся вопросами прикладной математики.




ЗАДАЧИ О МНОГОЦВЕТНОЙ РАСКРАСКЕ.
Различные страны на географической карте окрашиваются для удобства в разные цвета. При этом обычно не требуется, чтобы каждая страна имела свой особый цвет. Достаточно, чтобы в различные цвета были окрашены соседние страны, т. е. страны, имеющие общую границу, например страны S1 и S2 на рис. 1).

Такую раскраску карты мы будем называть правильной. Естественно поставить вопрос, какое число красок нужно иметь для того, чтобы правильно раскрасить данную карту. Ясно, что нас устроит число красок, равное числу стран карты; в этом случае мы просто каждую страну выкрасим в свой цвет. Однако мы не удовлетворимся таким решением: нас будет интересовать минимальное число красок, достаточное для правильной раскраски данной карты. Легко построить карту, для которой таким минимальным числом красок является 2 (рис. 2).

Карта на рис. 2 является картой острова, расположенного в море, которое показано штриховкой. Море мы не закрасили ни одной из красок а и b. Однако обычно море на каргах также закрашивается, причем требуется, чтобы прибрежные страны, т. е. страны, граничащие с морем, были окрашены в отличный от моря цвет. Море, таким образом, ничем не отличается для нас от простой страны. То, что оно не ограничено, для нас не существенно. Поэтому в дальнейшем мы не будем выделять море особо, а включим его в число стран. Карты, которые мы будем рассматривать, не будут, таким образом, картами островов; мы будем считать их распространенными на всю плоскость. При такой точке зрения карта на рис. 2 уже не может быть правильно раскрашена двумя красками.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие ко второму изданию.
Предисловие к первому изданию.
Указания к пользованию книгой.
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ ЗАДАЧИ О МНОГОЦВЕТНОЙ РАСКРАСКЕ.
§1. Задача о двух красках.
§2. Трехцветная раскраска.
§3. О проблеме четырех красок. Теорема Волынского.
§4. Теорема Эйлера. Теорема о пяти красках.
Добавление.
О трехцветной раскраске сферы.
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ ЗАДАЧИ ИЗ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ.
Глава I. Арифметика вычетов
§1. Арифметика вычетов но модулю m, или m-арифметика.
§2. Арифметика вычетов по модулю p, или p-арифметика.
§3. Извлечение квадратного корня. Квадратные уравнения.
§4. Извлечение кубического корня. Простые делители чисел вида а2 + 3.
§5. Многочлены и уравнения высших степеней.
Глава II. m-адические и p-адические числа.
§1. Применение 10 арифметики к делению многозначных чисел.
§2. Бесконечно значные числа.
§3. m-адические и p-адические числа.
Глава III. Приложения m-арифметики и p-арифметики к теории чисел.
§1. Ряд Фибоначчи.
§2. Треугольник Паскаля.
§3. Дробно-линейные функции.
Глава IV. Дополнительные сведения о ряде Фибоначчи и треугольнике Паскаля.
§1. Приложение p-адических чисел к ряду Фибоначчи.
§2. Связь между треугольником Паскаля и рядом Фибоначчи.
§3. Члены ряда Фибоначчи, кратные заданному числу.
Глава V. Уравнение х2 - 5у2 = 1.
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ (ЦЕПИ МАРКОВА).
§1. Основные свойства вероятности.
§2. Задачи о блуждании по бесконечной прямой. Треугольник вероятностей.
§3. Закон больших чисел.
§4. Блуждания с конечным числом состояний.
§5. Блуждания с бесконечным числом состояний.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
Раздел первый Задачи о многоцветной раскраске.
Раздел второй Задачи из теории чисел.
Раздел третий Случайные блуждания (цепи Маркова).



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математические беседы, Дынкин Е.Б., Успенский В.А., 2004 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Дынкин :: Успенский