Введение в суперанализ, Березин Ф.А., 2014

Введение в суперанализ, Березин Ф.А., 2014.

   Теория суперсимметрий — относительно новое направление в математике. Идеи суперсимметрии, появившиеся, чтобы разрешить некоторые проблемы теоретической физики, долго казавшиеся неразрешимыми по определению, быстро выросли в теорию супермногообразий — богатый сплав дифференциальной и алгебраической геометрий с собственными глубокими и недостаточно пока исследованными проблемами.
Незаконченная рукопись погибшего основоположника теории суперсимметрий — Феликса Александровича Березина — еще раз отредактирована и дополнена результатами, полученными за 30 лет, прошедших с момента ее написания, или ссылками на соответствующие результаты. Отмечены также открытые проблемы разного уровня сложности.
В Дополнении публикуются материалы трудов «Семинара по суперсимметриям».
Книга будет полезна как научным работникам, так и преподавателям и студентам, — как математикам, так и физикам.




Матрицы Картана.
На заре развития теории простых алгебр Ли Э. Картан сообразил, что каждую простую конечномерную алгебру Ли над С можно задать с помощью одной довольна разреженной матрицы, а лет через 30 после этого Е.Б. Дынкин предложил кодировать такие матрицы простенькими графами, ранее появившимися по другому поводу у Г. С. М. Коксетера. Конечно, для описания алгебр Ли вроде sl(n), когда «и так все понятно», без матриц Картана или графов Дынкина можно обойтись, но с их помощью проще разбираться в строении всех простых алгебр Ли, а ведь кроме «классических» серий есть еще пять исключительных алгебр Ли которые трудно себе представить явно. Кроме того, в терминах корней, с помощью которых строятся матрицы Картана, эти разборки можно проводить единообразно.

Странно, что доказательство того, что матрица Картана (или граф Дынкина) и вправду однозначно задает алгебру Ли, было опубликовано лишь в 1960-х; Ж.-П. Серр сделал это, описав соотношения между специальными удобными образующими, носящими имя К. Шевалле. Описание матриц Картана и графов Дынкина (см. [Бу3°]) проходит с небольшими изменениями и для любой алгебры петель (т. е. функций на окружности) со значениями в простой конечномерной алгебре Ли. Вернее, так часто говорят, но это неправда: алгебра петель, хоть и проста (как Z-градуированная; рассматриваемая как абстрактная она не проста: множество функций, обращающихся в 0 в фиксированной точке окружности, образует идеал), и тем мила сердцу математика, но у нее матрицы Картана НЕТ.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие редактора.
Предисловие редактора первого издания.
Предварительные сведения.
Введение. Математические основы суперсимметричных теорий поля.
1. Линейная алгебра в суперпространствах.
2. Анализ на суперобластях.
3. Супермногообразия в целом.
§1. Супермногообразия.
§2. Конструкции супермногообразий.
§3. Стратификация супермногообразия.
§4. Ретракция и первое препятствие.
§5. Высшие препятствия.
§6. Примеры неретрагируемых супермногообразий.
§7. Z+ - градуировка и условия простоты супермногообразия.
4. Динамика частицы со спином как пример классической механики на супермногообразиях.
§1. Введение.
§2. Динамика нерелятивистской частицы со спином.
§3. Релятивистский спин и уравнение Дирака.
§4. Заключительные замечания.
§5. Приложения.
Литература.
Дополнения. Семинар по суперсимметриям. Том 1 1/2.
Д1. Общие сведения: сводка результатов.
Д2. Супералгебры Ли с матрицей Картана.
§1. Матрицы Картана.
§2. Графы Дынкина.
§3. Таблицы.
Д3. Векторные супералгебры Ли.
§1. Введение.
§2. Векторные супералгебры. Стандартная реализация.
§3. Производящие функции.
§4. Бездивергентные подалгебры.
§5. Обобщения продолжений Картана.
§6. Деформации супералгебры Бюттен.
§7. Простые вещественные векторные супералгебры Ли.
§8. Струнные супералгебры Ли.
Д4. Супералгебры Пуассона и Бюттен — аналоги общей линейной алгебры. Спинорные и осцилляторные представления.
§1. Введение.
§2. Супералгебра Пуассона po(2n|m).
§3. Пространство Фока и спинорно-осцилляторные представления.
§4. Спинорно-осцилляторные представления.
Д5. Автоморфизмы и вещественные формы (по В.Сергановой).
§1. Введение.
§2. Автоморфизмы простых конечномерных супералгебр Ли.
§3. Вещественные структуры простых конечномерных супералгебр Ли.
§4. Классификация простых супералгебр петель.
§5. Автоморфизмы и вещественные формы струнных супералгебр Ли.
§6. Внешние автоморфизмы и вещественные формы супералгебр петель.
§7. Симметрические суперпространства.
Д6. Инвариантные многочлены на супералгебрах Ли (по А.Н. Сергееву).
§1. Введение.
§2. Некоторые конструкции с функтором точек.
§3. Предварительные результаты.
§4. Инвариантные многочлены на супералгебрах Ли.
§5. Открытые задачи.
Д7. Инвариантные функции на супермногообразиях суперматриц (В.Шандер).
§1. Введение.
§2. О нормальном виде суперматриц.
§3. Инвариантные функции на Q(1) и Odd(1).
§4. Инвариантные функции на Cn|n.
§5. Описание инвариантных функций на Q(n) и Odd(n).
§6. Примеры.
§7. Заключение.
Литература к Дополнениям.
Литература, добавленная редактором.
Предметный указатель.

Купить - rtf .

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Березин :: суперанализ