Курс обыкновенных дифференциальных уравнений, Бибиков Ю.Н., 1991

Курс обыкновенных дифференциальных уравнений, Бибиков Ю.Н., 1991.

  В пособии содержатся все традиционные разделы курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Излагаются важные как в теоретическом, так и в прикладном отношении разделы по теории дифференциальных уравнении с аналитическими правыми частями и по теории устойчивости движения.




Ломаные Эйлера.
Воспользуемся леммой 1.2.1 для построения решения задачи Коши с начальными данными (х0, у0). Требуемые еk-решения можно получить с помощью ломаных Эйлера, которые определяются следующим образом. Пусть (xо, y0)€G. Строим отрезок поля направлений в этой точке с концами в области G. Через правый конец (x1, у1) снова проводим отрезок поля направлений в этой точке, который рассматриваем при х>x1. Если правый конец его (х2, y2)€G, то продолжаем построение. Аналогичное построение осуществляем влево от точки x0. В результате получаем ломаную, называемую ломаной Эйлера. Рангом дробления ломаной Эйлера будем называть наибольшую из разностей |xk+1-хk|, где хk — абсциссы вершины ломаной.

Оглавление     
Предисловие
Основные обозначения
Глава I Дифференциальные уравнения первого порядка
§1. Общие положения
§2. Теорема существования
§3. Теорема единственности
§4. Общее решение
§5. Дифференциальные уравнения первого порядка в симметричной форме
§6. Интегрирующий множитель
§7. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной
Глава II Нормальные системы дифференциальных уравнений. Вопросы существования решений
§1. Вспомогательные сведения
§2. Системы дифференциальных уравнений. Общие положения
§3. Теорема существования и единственности
§4. Продолжение решений
§5. Системы дифференциальных уравнений общего вида
§6. Автономные системы
Глава III Линейные дифференциальные уравнения
§1. Общие положения
§2. Линейные однородные уравнения
§3. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
§4. Линейные неоднородные уравнения
Глава IV Линейные системы дифференциальных уравнений
§1. Линейные однородные системы
§2. Фундаментальные матрицы
§3. Подобные матрицы
§4. Функции от матриц
§5. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
§6. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами
§7. Линейные неоднородные системы
§8. Краевая задача
§9. Ограниченные решения линейных систем
Глава V Общие свойства решений систем дифференциальных уравнений
§1. Непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметров
§2. Дифференцируемость решений по начальным данным и параметрам
§3. Периодические решения квазилинейных систем
§4. Автономные системы на плоскости
§5. Общее решение
§6. Общий интеграл
Глава VI Аналитические нормальные системы дифференциальных уравнений
§1. Аналитические функции нескольких переменных
§2. Аналитичность решений по начальным данным и параметрам
§3. Метод малого параметра
§4. Аналитичность решений как функций независимой переменной
§5. Аналитическое продолжение решений
§6. Изолированные особенности линейной однородной системы
§7. Регулярная особенность линейного однородного уравнения второго порядка
§8. Линеаризация автономной системы в окрестности положения равновесия
Глава VII Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений
§1. Устойчивость в малом
§2. Устойчивость по Ляпунову
§3. Устойчивость периодических решений квазилинейных уравнений в критических случаях
§4. Параметрический резонанс
§5. Второй метод Ляпунова
Глава VIII Метод нормальных форм в теории дифференциальных уравнений
§1. Формальная и аналитическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений
§2. Нормальная форма системы дифференциальных уравнений
§3. Автономные системы на плоскости в окрестности положения равновесия
§4. Нормальная форма на инвариантной поверхности
§5. Первый метод Ляпунова
§6. Аналитическое семейство периодических решений
§7. Бифуркация периодических решений
§8. Нормальная форма периодической системы
§9. Критический случай одного равного нулю характеристического показателя. Алгебраический случай
§10. Критический случай одного нулевого характеристического показателя. Трансцендентный случай
Дополнение. Дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Бибиков