Дифференциальная геометрия и тензорный анализ в задачах, Козлов И.К., Федосеев Д.А., 2022

Дифференциальная геометрия и тензорный анализ в задачах, Козлов И.К., Федосеев Д.А., 2022.

   Цель настоящей книги — изложить основной материал курса дифференциальной геометрии и тензорного анализа через призму теоретических и практических задач. Дифференциальная геометрия — важный раздел математики, идеи и результаты которого находят широкое применение в математике, механике, физике. Тем не менее — или, возможно, именно поэтому — курс может оказаться достаточно сложен для восприятия с первой встречи. Решения задач играет потому важнейшую роль в освоении материала, позволяя не только столкнуться с формально доказанными общими утверждениями, но и пощупать изучаемые объекты на конкретных примерах.




Производная Ли.
Пусть М — гладкое многообразие, а X — векторное поле на нем. Существует способ определения дифференцирования произвольных тензорных полей по направлению поля X, не требующий никаких дополнительных структур на многообразии (в отличие от конструкции ковариантной производной, которая будет определена в дальнейших разделах). Это дифференцирование носит название производной Ли в честь норвежского математика Софуса Ли. Производная Ли может быть определена аксиоматически (что удобнее для вычислений, но требует доказательства существования объекта с такими свойствами) и аналитически.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
I Тензоры.
1 Понятие тензора и его компонент.
1.1 Введение.
1.1.1 Определение тензора.
1.1.2 Компоненты тензора на линейном пространстве.
1.1.3 Тензоры на многообразиях.
1.1.4 Несколько слов о тензорных полях.
1.2 Нахождение компонент тензора.
1.3 Тензоры и матрицы.
1.4 Инвариантные тензоры.
1.5 Тензоры и производные функции.
1.6 Отображение тензорных пространств.
2 Операции над тензорами.
2.1 Алгебраические операции над тензорами.
2.2 Задачи на применение тензорных операций
2.3 Теоретические задачи.
2.4 Определитель как тензорная операция.
3 Симметричные и кососимметричные тензоры.
3.1 Симметрическая и внешняя алгебры.
3.1.1 Симметрическая алгебра.
3.1.2 Внешняя алгебра.
3.2 Операции Sym и Alt.
3.3 Внешнее и симметрическое произведения.
3.4 Линейные дифференциальные формы.
3.4.1 Разложимость дифференциальных форм.
3.4.2 Форма объёма.
3.4.3 Оператор двойственности Ходжа.
II Тензорные поля.
4 Векторные поля.
4.1 Определение касательного вектора.
4.1.1 Вектор как тензор типа (1, 0).
4.1.2 Касательный вектор кривой.
4.1.3 Векторы как дифференциальные операторы.
4.1.4 Взаимосвязь трех определений.
4.2 Градиент функции.
4.3 Коммутатор векторных полей.
4.4 Тензор Нийенхейса.
5 Дифференциальные формы.
5.1 Операции над дифференциальными формами.
5.1.1 Внешнее произведение.
5.1.2 Внешний дифференциал.
5.1.3 Прообраз дифференциальной формы.
5.1.4 Интеграл.
5.2 Формула для внешнего дифференциала.
5.3 Производная Ли.
5.4 Локальная интегрируемость форм.
5.5 Формула Стокса.
5.6 Геометрический смысл операций grad, rot, div.
III Аффинная связность и ковариантная производная.
6 Символы Кристоффеля.
6.1 Введение понятия символов Кристоффеля.
6.2 Вычисление символов Кристоффеля.
6.3 Некоторые свойства символов Кристоффеля.
6.4 Символы Кристоффеля для стандартных метрик.
7 Аффинная связность.
7.1 Определение аффинной связности.
7.2 Ковариантная производная векторных полей.
7.3 Тензор кручения.
8 Ковариантная производная.
8.1 Определение ковариантной производной тензорных полей.
8.2 Вычисление ковариантной производной.
8.3 Свойства ковариантной производной.
8.3.1 Ковариантная производная на подмногообразии.
8.3.2 Ковариантная дивергенция.
8.3.3 Ковариантная и внешняя производные.
IV Геометрия многообразий с аффинной связностью.
9 Параллельный перенос и геодезические.
9.1 Параллельный перенос.
9.1.1 Определение понятие параллельного переноса.
9.1.2 Параллельный перенос на конкретных многообразиях.
9.1.3 Ковариантное постоянство формы объема.
9.2 Геодезические.
9.2.1 Определение понятия геодезической.
9.2.2 Нахождение геодезических.
9.2.3 Геодезические на поверхности Лиувилля.
9.2.4 Геодезические на подмногообразиях.
9.2.5 Изометрии многообразий.
10 Экспоненциальное отображение.
10.1 Определение экспоненциального отображения.
10.2 Нормальные (геодезические) координаты.
10.3 Полугеодезические координаты.
10.4 Геодезические как локально кратчайшие.
11 Тензор кривизны Римана.
11.1 Определение и свойства тензора Римана.
11.2 Тензор Римана кривых и поверхностей.
11.3 Тензор Римана и плоскость метрики.
11.4 Тензор Эйнштейна.
11.4.1 Второе тождество Бьянки.
11.4.2 Тензор Эйнштейна и его бездивергентность.
11.4.3 Пространство Эйнштейна.
V Степень отображения и когомологии де Рама.
12 Гомотопия и гомотопическая эквивалентность.
13 Степень отображения.
13.1 Понятие степени отображения.
13.2 Cтепень отображения в некоторых конкретных случаях.
13.2.1 Простейшие задачи на степень отображения.
13.2.2 Примеры вычисления степени отображения.
13.2.3 Степень отображения сферы.
13.3 Другие применения степени отображения.
13.3.1 Теорема Борсука-Улама и теорема о еже.
13.3.2 Отображение матричных групп.
13.3.3 Индексы особых точек.
13.3.4 Степень отображения и интеграл.
14 Когомологии де Рама.
14.1 Определение когомологий де Рама.
14.2 Некоторые задачи на вычисление групп когомологий.
14.2.1 Замкнутые и точные формы.
14.2.2 Вычисление первых когомологий.
14.2.3 Теорема Майера–Вьеториса.
14.2.4 Когомологии простейших пространств.
14.3 Точные симплектические многообразия.
A Соглашения и договорённости.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Дифференциальная геометрия и тензорный анализ в задачах, Козлов И.К., Федосеев Д.А., 2022 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Козлов :: Федосеев