Математический анализ, Интегральное исчисление, Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г., 1979

Математический анализ, Интегральное исчисление, Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г., 1979.

    Предлагаемая вниманию читателя книга посвящена интегральному исчислению функций одной переменной и является третьей в серии учебных пособий по математическому анализу, предназначенных для студентов-заочников. Ранее вышли в свет книги Н. Я. Виленкина и Е. С. Куницкой «Математический анализ. Введение в анализ», М., «Просвещение». 1973 (ниже цитируется как «Введение в анализ») и Н. Я. Виленкина, Е. С. Куницкой и А. Г. Мордковича «Математический анализ. Дифференциальное исчисление», М., «Просвещение», 1978 (ниже цитируется как «Дифференциальное исчисление»).
Значение раздела «Интегральное исчисление» для будущего учителя математики определяется в первую очередь тем, что соответствующие вопросы изучаются теперь в средней школе. Поэтому главной задачей авторов было выяснение тех основных понятий, которые нужны для школьного преподавания, строгое доказательство утверждений, которые в школе лишь поясняются. Это определило то, что главное внимание уделяется существу разбираемых вопросов, естественно-научным и геометрическим истокам вводимых понятий, а техника вычисления интегралов играет подчиненную роль.




Внешние, внутренние и граничные точки плоских множеств.
Выше мы неоднократно использовали понятие площади плоской фигуры, опираясь на его интуитивное толкование. В этом параграфе мы дадим определение понятия площади плоской фигуры, установим свойства площадей и опишем класс фигур, имеющих площадь. Для этого введем несколько понятий, относящихся к плоским фигурам, т. е. к множествам, состоящим из точек плоскости.

Напомним, что открытым кругом с центром а и радиусом r называют множество U (а, r) точек плоскости, расстояние которых от точки а меньше r. Любой открытый круг с центром а называют окрестностью точки а.

Пусть на плоскости задано некоторое множество X. Назовем точку а этого множества внутренней, если существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся в X. Точку плоскости называют внешней точкой для этого множества, если у нее есть окрестность, не содержащая ни одной точки множества X. Наконец, точки плоскости, не являющиеся ни внутренними, ни внешними для множества X, называют граничными точками этого множества. Граничные точки могут как принадлежать множеству X, так и не принадлежать ему. Совокупность граничных точек множества X образует границу этого множества. Если все граничные точки множества X принадлежат этому множеству, то его называют замкнутым, а если ни одна граничная точка не принадлежит множеству X, то его называют открытым.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава I. Неопределенный и определенный интегралы.
§1. Основные понятия.
1. Задача восстановления функции по ее производной.
2. Первообразная функция.
3. Определения неопределенного и определенного интегралов.
4. Таблица основных интегралов.
5. Свойства неопределенного интеграла.
6. Свойства определенного интеграла.
Вопросы для самопроверки.
Упражнения.
§2. Интегрирование по частям.
1. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
2. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
3. Рекуррентные формулы.
Вопросы для самопроверки.
Упражнения.
§3. Интегрирование методом замены переменной.
1. Замена переменной в неопределенном интеграле.
2. Замена переменной в определенном интеграле.
Вопросы для самопроверки.
Упражнения.
§4. Метод неопределенных коэффициентов.
Вопросы для самопроверки.
Упражнения.
§5. Интегрирование рациональных функций.
1. Интегрирование простейших рациональных функций.
2. Интегрирование правильных дробей.
3. Интегрирование неправильных дробей.
Вопросы для самопроверки.
Упражнения.
§6. Интегрирование иррациональных функций.
Упражнения.
§7. Интегрирование тригонометрических функций.
Вопросы для самопроверки.
Упражнения.
§8. Вычисление интегралов с помощью таблиц.
Глава II. Определенный интеграл и его свойства.
§1. Определенный интеграл как число, разделяющее два числовых множества.
1. Оценки определенных интегралов.
2. Определенный интеграл как разделяющее число.
3. Свойства нижних и верхних сумм Дарбу.
4. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции.
5. Интегрируемость монотонных функций.
6. Интегрируемость непрерывных функций.
Вопросы для самопроверки.
Упражнения.
§2. Существование первообразной для непрерывной функции.
1. Разбиение промежутка интегрирования.
2. Среднее значение функции.
3. Дифференцирование определенного интеграла по верхнему пределу.
4. Формула Ньютона — Лейбница.
Вопросы для самопроверки.
Упражнения.
§3. Свойства определенных интегралов.
1. Свойства определенных интегралов от непрерывных функций.
2. Интегрирование четных, нечетных и периодических функций.
3. Интегрирование неравенств.
Вопросы для самопроверки.
Упражнения.
§4. Несобственные интегралы.
1. Интегралы с бесконечным промежутком интегрирования.
2. Признаки сходимости несобственных интегралов 1-го рода.
3. Несобственные интегралы 2-го рода.
Вопросы для самопроверки.
Упражнения.
§5. Интегральное определение логарифмической функции.
Глава III. Приложения определенного интеграла.
§1. Вычисление площадей плоских фигур.
1. Внешние, внутренние и граничные точки плоских множеств
2. Квадрируемые области.
3. Свойства площадей квадрируемых фигур.
4. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах.
5. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями.
6. Площадь в полярных координатах.
Вопросы для самопроверки.
Упражнения.
§2. Вычисление объемов тел.
1. Кубируемые тела.
2. Объем прямого цилиндрического тела.
3. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.
4. Принцип Кавальери.
5. Объем тела вращения.
Вопросы для самопроверки.
Упражнения.
§3. Вычисление длин дуг.
1. Понятие спрямляемой кривой.
2. Достаточное условие спрямляемости кривой.
3. Вывод формулы длины дуги регулярной кривой.
4. Частные случаи формулы длины кривой.
5. Необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой.
Вопросы для самопроверки.
Упражнения.
§4. Кривизна плоской кривой.
Вопросы для самопроверки.
Упражнения.
§5. Площадь поверхности вращения.
Вопросы для самопроверки.
Упражнения.
§6. Приложения интегрального исчисления к решению физических задач.
1. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести материальной кривой.
2. Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур.
3. Теоремы Гульдина — Паппа.
4. Вычисление моментов инерции.
5. Другие приложения интегрального исчисления к физике.
Вопросы для самопроверки.
Упражнения.
Приложение 1 (таблица неопределенных интегралов).
Приложение 2 (примерные варианты контрольной работы).
Ответы.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Виленкин :: Куницкая :: Мордкович