Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах, Понарин Я.П., 2004

Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах, Понарин Я.П., 2004.

   В книге в научно-популярной форме излагаются основы метода комплексных чисел в геометрии. Отдельные главы посвящены многоугольникам, прямой и окружности, линейным и круговым преобразованиям. Метод комплексных чисел иллюстрируется на решениях более 60 задач элементарного характера. Для самостоятельного решения предлагается более 200 задач, снабжённых ответами или указаниями.
Книга адресуется всем любителям геометрии, желающим самостоятельно овладеть методом комплексных чисел. Её можно использовать для проведения кружков и факультативных занятий в старших классах средней школы.




Плоскость комплексных чисел.
Зададим на плоскости прямоугольную декартову систему координат Оху. Тогда каждому комплексному числу z, представленному в алгебраической форме z=x+iy (х, у — действительные числа; i2=-1), можно однозначно поставить в соответствие точку М плоскости с координатами (х, у) (рис. 1): z=x+iy - М(х, у). Комплексное число z называют комплексной координатой соответствующей точки М и пишут: M(z).

Следовательно, множество точек евклидовой плоскости находится во взаимно однозначном соответствии с множеством комплексных чисел. Эту плоскость называют плоскостью комплексных чисел. Начало О системы координат называют при этом начальной или нулевой точкой плоскости комплексных чисел.

При у=0 число z — действительное. Действительные числа изображаются точками оси Ох, поэтому она называется действительной осью. При x=0 число z — чисто мнимое: z=iy. Чисто мнимые числа изображаются точками на оси Оу, поэтому она называется мнимой осью. Нуль — одновременно действительное и чисто мнимое число.

Оглавление.
Предисловие.
Глава 1. Основы метода комплексных чисел.
§1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и действий над ними.
1.1. Плоскость комплексных чисел (8). 1.2. Операция перехода к сопряжённому числу (9). 1.3. Векторная интерпретация комплексных чисел, их сложения и вычитания (9). 1.4. Геометрический смысл умножения комплексных чисел (10). 1.5. Деление отрезка в данном отношении (11). Задачи (11).
§2. Формулы длины отрезка и скалярного произведения векторов.
2.1. Расстояние между двумя точками (12). 2.2. Скалярное произведение векторов (12). 2.3. Примеры решения задач (13). Задачи (14).
§3. Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность.
3.1. Коллинеарность векторов (15). 3.2. Коллинеарность трёх точек (16). 3.3. Перпендикулярность отрезков (векторов) (17). Задачи (18).
§4. Комплексные координаты некоторых точек.
4.1. Точка пересечения секущих к окружности (19). 4.2. Точка пересечения касательных к окружности (19). 4.3. Ортогональная проекция точки на прямую (20). 4.4. Центроид и ортоцентр треугольника (20). Задачи (21).
§5. Решение задач методом комплексных чисел.
Задачи (26).
§6. Классические теоремы элементарной геометрии.
6.1. Теорема Ньютона (26). 6.2. Теорема Гаусса (27). 6.3. Теорема Симсона (28). 6.4. Теорема Паскаля (28). 6.5. Теорема Монжа (29). 6.6. Теорема Дезарга (30). Задачи (31).
§7. Углы и площади.
7.1. Угол между векторами (32). 7.2. Площадь треугольника и четырёхугольника (33). 7.3. Соотношение Бретшнайдера (33). 7.4. Теорема Птолемея (34). 7.5. Решение задач (34). Задачи (36).
Задачи к главе 1.
Глава 2. Многоугольники.
§8. Подобные и равные треугольники.
8.1. Подобные треугольники (40). 8.2. Равные треугольники (41). Задачи (43).
§9. Правильный треугольник.
9.1. Критерий правильного треугольника (44). 9.2. Теорема Помпею (45). Задачи (49).
§10. Правильные многоугольники.
10.1. Координаты вершин правильного n-угольника (50). 10.2. Вычисление длин сторон и диагоналей правильного n-угольника (51). Задачи (56).
Задачи к главе 2.
Глава 3. Прямая и окружность.
§11. Геометрический смысл уравнения az+bz+c=0.
11.1. Сопряжённые комплексные координаты. Уравнение прямой (59).
11.2. Приведённое уравнение прямой (61).
§12. Две прямые. Расстояние от точки до прямой.
12.1. Угол между прямыми (62). 12.2. Критерии перпендикулярности и параллельности двух прямых (62). 12.3. Расстояние от точки до прямой (63). Задачи (66).
§13. Двойное отношение четырёх точек плоскости.
13.1. Определение и свойства двойного отношения (68). 13.2. Геометрический смысл аргумента и модуля двойного отношения четырёх точек (68).
13.3. Критерий принадлежности четырёх точек окружности или прямой (69). Задачи (72).
§14. Геометрический смысл уравнения zz+az+bz+c=0.
14.1. Общее уравнение окружности в сопряжённых комплексных координатах (72). 14.2. Уравнение окружности по трём её точкам (74).
14.3. Ортогональные окружности (74). Задачи (77).
§15. Гармонический четырёхугольник.
15.1. Гармоническая четвёрка точек (78). 15.2. Гармонический четырёхугольник (79). Задачи (81).
§16. Поляры и полюсы относительно окружности.
16.1. Полярно сопряжённые точки (81). 16.2. Поляра точки относительно окружности (82). 16.3. Построение поляры. Полюс прямой (82). 16.4. Другое определение полярной сопряжённости точек (83). 16.5. Построение поляры данной точки одной линейкой (85). Задачи (86).
§17. Пучки окружностей.
17.1. Степень точки относительно окружности (86). 17.2. Радикальная ось двух окружностей (87). 17.3. Радикальный центр трёх окружностей (88).
17.4. Пучки окружностей (89). 17.5. Ортогональные пучки окружностей (90). Задачи (93).
Глава 4. Преобразования плоскости.
§18. Подобия и движения.
18.1. Первоначальные сведения о преобразованиях подобия (94). 18.2. Формулы подобий (94). 18.3. Угол подобия (96). 18.4. Частные случаи подобий первого рода (96). 18.5. Частные случаи подобий второго рода (98). Задачи (101).
§19. Представление подобий композициями гомотетий и движений. Оси подобий второго рода.
19.1. Теоремы о классификации подобий (101). 19.2. Оси подобия второго рода (103).
§20. Композиции подобий.
20.1. Композиции подобий первого рода (105). 20.2. Композиции подобий первого и второго рода (107). Задачи (110).
§21. Аффинные преобразования евклидовой плоскости. 21.1. Формула и свойства аффинных преобразований (111). 21.2. Задание аффинного преобразования (113). 21.3. Неподвижные точки (114).
§22. Инвариантные пучки параллельных прямых и двойные прямые аффинного преобразования.
22.1. Характеристическое уравнение и собственные числа аффинного преобразования (115). 22.2. Характеристическая окружность аффинного преобразования (117). 22.3. Инвариантные пучки прямых и двойные прямые (117).
§23. Частные случаи аффинных преобразований.
23.1. Сжатия и сдвиги (119). 23.2. Косая симметрия (121). 23.3. Эллиптический поворот (122). 23.4. Параболический поворот (124). Задачи (125).
§24. Инверсия.
24.1. Определение и формула инверсии (126). 24.2. Образы прямых и окружностей при инверсии (128). 24.3. Свойство конформности инверсии (129). Задачи (132).
§25. Круговые преобразования первого рода.
25.1. Конформная плоскость (132). 25.2. Круговые преобразования первого рода (133). 25.3. Неподвижные точки (135).
§26. Круговые преобразования второго рода.
26.1. Формула и свойства круговых преобразований второго рода (139). 26.2. Неподвижные точки (141). 26.3. Задание кругового преобразования (143). Задачи (145).
Задачи смешанного содержания.
Ответы, указания, решения.
Предметный указатель.
Литература.

Купить .





Теги: учебник по алгебре :: алгебра :: Понарин