Элементарная геометрия, том 2, Понарин Я.П., 2006

Элементарная геометрия, Том 2, Понарин Я.П., 2006.

   Пособие предназначено для учащихся старших классов школ с математической специализацией. Оно содержит углубленное и расширенное изложение геометрии. В нем изложена теория прямых и плоскостей, трехгранных углов, тетраэдров, сфер и других тел. Рассмотрены методы доказательства геометрических неравенств и нахождения экстремумов. Много внимания уделено преобразованиям пространства — движениям, подобиям и аффинным преобразованиям. Книга включает около 500 задач для самостоятельного решения с указаниями и ответами.
Книга может быть использована для внеклассной работы с учащимися, для самообразования учителей, для спецкурсов и спецсеминаров по элементарной геометрии в педагогических вузах.




Перпендикулярность прямой и плоскости.
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если один из углов между ними равен своему смежному. Две скрещивающиеся прямые называются перпендикулярными, если перпендикулярны соответственно параллельные им пересекающиеся прямые.

Прямая и плоскость называются перпендикулярными, если эта пряная перпендикулярна каждой прямой, лежащей в данной плоскости.

Теорема 5 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна каждой из двух непараллельных прямых данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Часть I. Стереометрия.
Глава 1. Прямые и плоскости.
§1. Параллельные прямые и плоскости.
§2. Перпендикулярные прямые и плоскости.
§3. Скрещивающиеся прямые.
§4. Углы между прямыми и плоскостями.
Глава 2. Трехгранный угол.
§1. Смежные и вертикальные триэдры. Полярные триэдры.
§2. Неравенства для углов триэдра.
§3. Теоремы косинусов и теорема синусов для триэдра.
§4. Замечательные прямые и плоскости триэдра.
§5. Плоскости, перпендикулярные осям описанного и вписанного конусов триэдра.
§6. Начальные сведения о сферической геометрии.
Глава 3. Ортогональное проектирование.
§1. Свойства ортогонального проектирования.
§2. Ортогональная проекция угла.
§3. Ортогональная проекция вектора на плоскость.
Глава 4. Геометрические места точек пространства.
§1. Основные геометрические места точек пространства.
§2. ГМТ пространства, задаваемые двумя скрещивающимися прямыми.
§3. Три ГМТ пространства, аналогичные ГМТ плоскости.
§4. Метод ГМТ в стереометрических задачах на построение.
Глава 5. Векторное и смешанное произведения векторов.
§1. Определения векторного и смешанного произведений, их геометрический смысл.
§2. Алгебраические свойства смешанного и векторного произведений.
§3. Произведения в декартовых координатах.
§4. Сложные произведения векторов.
§5. Некоторые геометрические приложения произведений векторов.
Глава 6. Тетраэдр.
§1. Медианы и бимедианы тетраэдра. Центроид.
§2. Площади граней тетраэдра.
§3. Объем тетраэдра и объем клина.
§4. Барицентрические координаты точки.
§5. Сферы, касающиеся плоскостей граней тетраэдра.
§6. Ортоцентрический тетраэдр.
§7. Равногранный тетраэдр.
Глава 7. Вычисление объемов тел.
§1. Формула Ньютона–Симпсона и ее применение.
§2. Объем шара и его частей.
§3. Принцип Кавальери.
§4. Объем тела вращения.
Глава 8. Сфера.
§1. Касательные плоскости и прямые. Малые окружности сферы.
§2. Площадь сферы и ее частей.
§3. Радикальная плоскость, радикальная ось и радикальный центр сфер.
§4. Инверсия пространства относительно сферы.
§5. Стереографическая проекция.
Глава 9. Стереометрические неравенства и экстремумы.
§1. Классические алгебраические неравенства, используемые для доказательства геометрических неравенств.
§2. Получение неравенств из тождественных равенств.
§3. Некоторые избранные неравенства.
§4. Стереометрические экстремумы.
§5. Точка Люилье тетраэдра.
§6. Экстремальные свойства правильного тетраэдра.
Часть II. Преобразования пространства.
Глава 10. Движения пространства.
§1. Перенос, центральная, осевая и зеркальная симметрии пространства.
§2. Общие свойства движений пространства.
§3. Поворот пространства около оси.
§4. Переносная и поворотная симметрии, винтовое движение.
§5. Конструктивное задание движения пространства.
§6. Классификация движений пространства.
§7. Координатные формулы движений пространства.
§8. Композиции движений пространства.
§9. Группы самосовмещений правильного тетраэдра и куба.
§10. Решение задач с использованием движений пространства.
Глава 11. Подобия пространства.
§1. Гомотетия пространства.
§2. Преобразования подобия.
Глава 12. Аффинные преобразования.
§1. Начала теории аффинных преобразований пространства.
§2. Изменение объемов тел при аффинном преобразовании.
§3. Родство.
§4. Метод аффинных преобразований в геометрических задачах.
Задачи общего содержания.
Ответы, указания.
Литература.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по геометрии :: геометрия :: Понарин