Теория чисел, Бухштаб А.А., 1966

Теория чисел, Бухштаб А.А., 1966.

   Книга рассчитана в первую очередь на то, чтобы служить в качестве учебного пособия при прохождении курса теории чисел на физико-математических факультетах педагогических институтов и в университетах. Теоретико-числовые вопросы вызывают интерес не только у специалистов математиков, но и у значительно более широкого круга людей, задумывающихся над отдельными арифметическими проблемами, и автор старался учесть интересы читателей в этом отношении. Охватывая полностью учебную программу по теории чисел, книга содержит и дополнительный материал, развивающий тот небольшой обязательный курс, который проходится всеми студентами-математиками в педагогических институтах. Этот дополнительный материал может быть использован при организации работы спецсеминаров, а также в качестве основы для ряда курсовых работ по теории чисел.




ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ.
Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества в процессе трудовой деятельности. Понятие натурального числа, появляющееся как результат постепенного абстрагирования, является основой всего дальнейшего развития математики.

Изучение свойств натуральных чисел, начатое в примитивной форме математиками давно ушедших поколений, занимает большое место в современной математике, составляя основное содержание одного из ее ведущих разделов, который мы называем теорией чисел. При рассмотрении натуральных чисел мы замечаем, что среди них встречаются числа с весьма разнообразными свойствами. Так, Например, среди натуральных чисел мы выделяем простые числа, и, естественно, возникает вопрос, как распределены эти числа среди всех натуральных чисел. Мы можем также заметить, например, что среди натуральных чисел есть числа, которые нельзя представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел, и поставить вопрос о том, какие именно числа обладают этим свойством и как часто встречаются такие числа.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Обозначения.
Введение.
1. Предмет теории чисел.
2. Краткий исторический очерк развития теории чисел.
Глава 1. Общие основы теории чисел.
1. Множества с операциями.
2. Числа.
3. Последовательности. Функции.
Глава 2. Простые числа.
1. Простые и составные числа.
2. Факторизация Исторические комментарии.
Глава 3. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.
1. Общие делители и общие кратные целых чисел.
2. Алгоритм Евклида.
3. Взаимно простые числа.
Глава 4. Функции [x].
1. Разложение и! на простые множители.
2. Точки с целочисленными координатами.
Исторические комментарии.
Глава 5. Конечные цепные дроби.
1. Представление рациональных чисел цепными дробями.
2. Подходящие дроби.
Глава 6. Иррациональные числа.
1. Критерии иррациональности.
2. Иррациональность е и пи.
Исторические комментарии.
Глава 7. Сравнения.
Исторические комментарии.
Глава 8. Классы.
1. Распределение чисел в классах по заданному модулю.
2. Кольцо классов.
Глава 9. Полная и приведенная системы вычетов.
1. Полная система вычетов.
2. Приведенная система вычетов.
Глава 10. Функция Эйлера.
Исторические комментарии.
Глава 11. Теоремы Ферма и Эйлера.
1. Основные теоремы.
2. Обобщение теоремы Эйлера.
Исторические комментарии.
Глава 12. Группа классов, взаимно простых с модулем.
1. Группа классов.
2. Поле классов по простому модулю.
Глава 13. Сравнения с неизвестной величиной.
1. Сравнения с одной неизвестной.
2. Системы сравнений.
Глава 14. Сравнения 1-й степени.
1. Сравнение 1-й степени.
2. Неопределенное уравнение 1-й степени.
3. Система сравнений 1-й степени.
Исторические комментарии.
Глава 15. Сравнения по простому модулю.
1. Сравнение но простому модулю с одним неизвестным.
2. Сравнение по простому модулю с несколькими неизвестными.
3. Приложения: теорема Вильсона, теорема Шевалье.
Исторические комментарии.
Глава 16. Сравнения по составному модулю.
Глава 17. Степенные вычеты.
1. Показатели классов по заданному модулю.
2. Число классов с заданным показателем.
Глава 18. Первообразные корни.
1. Первообразные корни по простому модулю.
2. Первообразные корни по составным модулям.
Глава 19. Индексы.
1. Общие свойства.
2. Индексы по простому модулю.
3. Индексы по составным модулям.
Исторические комментарии.
Глава 20. Двучленные сравнения.
1. Двучленные сравнения по простому модулю.
2. Двучленные сравнения по составному модулю.
3. Квадратные корни из единицы.
4. Показательные сравнения.
Глава 21. Сравнения 2-й степени по простому модулю.
1. Квадратичные вычеты и невычеты.
2. Символ Лежандра.
3. Закон взаимности.
4. Некоторые приложения теории квадратичных вычетов.
5. Символ Якоби. Исторические комментарии.
Глава 22. Сравнения 2-й степени по составному модулю.
1. Сравнения 2-й степени по модулю рk, где р - простое число.
2. Сравнение 2-й степени по произвольному составному модулю.
Глава 23. Арифметические приложения теории сравнений.
1. Признаки делимости.
2. Проверка арифметических действий.
3. Длина периода десятичной дроби.
Глава 24. Бесконечные цепные дроби.
1. Сходимость бесконечных цепных дробей.
2. Разложение действительных чисел в цепные дроби.
3. Разложение числа е в цепную дробь.
Исторические комментарии.
Глава 25. Приближение действительных чисел рациональными дробями.
1. Приближение действительных чисел подходящими дробями.
2. Приближение действительных чисел рациональными дробями с заданным ограничением для знаменателей.
3. Приближение действительных чисел бесконечной последовательностью рациональных чисел.
Исторические комментарии.
Глава 26. Наилучшие приближения.
1. Отыскание наилучших приближений с помощью цепных дробей.
2. Множество всех наилучших приближений к заданному действительному числу.
Глава 27. Последовательности Фарся.
1. Фареевы дроби.
2. Приближение действительных чисел фареевыми дробями.
Глава 28. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби.
1. Разложение квадратических иррациональностей в цепные дроби.
2. Чисто периодические разложения.
Исторические комментарии.
Глава 29. Алгебраические числа.
1. Поле алгебраических чисел.
2. Рациональные приближения алгебраических чисел.
Глава 30. Трансцендентные числа.
1. Трансцендентные числа Лиувилля.
2. Трансцендентность числа е. Современное состояние вопроса о трансцендентных числах.
Исторические комментарии.
Глава 31. Представление чисел квадратичными формами.
1. Общие свойства бинарных квадратичных форм.
2. Представление натуральных чисел положительно определенными квадратичными формами.
Исторические комментарии.
Глава 32. Некоторые диофантовы уравнения.
1. Представление чисел в виде суммы двух квадратов и в виде х2+2у2.
2. Представление натуральных чисел в виде суммы четырех квадратов.
3. Проблема Варинга.
4. Неопределенное уравнение Ферма.
5. Проблема Ферма. Исторические комментарии.
Глава 33. Числовые функции.
1. Число и сумма делителей.
2. Функция Мёбиуса.
3. Дзета-функция Римана. Исторические комментарии.
Глава 34. Средние значения числовых функций.
1. Среднее значение числа делителей. Среднее значение суммы делителей.
2. Среднее значение функции Эйлера.
3. Числа, свободные от квадратов.
Исторические комментарии.
Глава 35. Распределение простых чисел в натуральном ряду.
1. Неравенства Чебышева для функции, выражающей число простых чисел в заданных пределах.
2. Обзор дальнейших результатов.
3. Оценки некоторых сумм с простыми числами.
4. Формула Мейсселя.
Исторические комментарии.
Глава 36. Распределение простых чисел в арифметических прогрессиях. Аддитивные задачи.
1. Простые числа в арифметической прогрессии.
2. Проблемы аддитивной теории простых чисел.
Исторические комментарии.
Таблицы индексов.
Таблица простых чисел.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Бухштаб