Теория функций вещественной переменной, Натансон И.П., 1974

Теория функций вещественной переменной, Натансон И.П., 1974.

   Книга посвящена, в основном, функциям одной вещественной переменной. Лишь в трех главах (XI—XIII) рассматриваются функции многих переменных и функции множества
Книга содержит большое количество упражнении, и сравнительно легкие, доступные широкому кругу читателей, и значительно более трудные, которые могут служить хорошим материалом для студенческих математических кружков.




Операции над множествами.
Основой теории функций вещественной переменной служит так называемая „теория множеств". Эта дисциплина имеет сравнительно небольшую историю: первые серьезные работы в этой области, принадлежащие Г. Кантору, появились в конце прошлого века. Тем не менее, в настоящее время теория множеств представляет собою весьма обширную область математики. В нашем курсе, для которого теория множеств имеет лишь вспомогательное значение, мы ограничиваемся только элементами этой дисциплины, отсылая читателя, желающего углубить свои познания по теории множеств, к книгам П. С. Александрова и Ф. Хаусдорфа.

Понятие множества является одним из основных математических понятий и не поддается точному определению. Поэтому мы ограничимся лишь описанием этого понятия. Множеством называется собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных по какому-нибудь признаку. Например, можно говорить о множестве всех натуральных чисел, множестве всех точек прямой, множестве всех многочленов с вещественными коэффициентами и т. п.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Из предисловия к первому изданию.
Предисловие ко второму изданию.
Глава I. Бесконечные множества.
§1. Операции над множествами.
§2. Взаимооднозначное соответствие.
§3. Счетные множества.
§4. Мощность континуума.
§5. Сравнение мощностей.
Глава II. Точечные множества.
§1. Предельная точка.
§2. Замкнутые множества.
§3. Внутренние точки и открытые множества.
§4. Расстояния и отделимость.
§5. Структура открытых и замкнутых ограниченных множеств.
§6. Точки конденсации. Мощность замкнутого множества.
Глава III. Измеримые множества.
§1. Мера ограниченного открытого множества.
§2. Мера ограниченного замкнутого множества.
§3. Внешняя и внутренняя мера ограниченного множества.
§4. Измеримые множества.
§5. Измеримость и мера как инварианты движения.
§6. Класс измеримых множеств.
§7. Общие замечания о проблеме меры.
§8. Теорема Витали.
Глава IV. Измеримые функции.
§1. Определение и простейшие свойства измеримой функции.
§2. Дальнейшие свойства измеримых функций.
§3. Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере.
§4. Структура измеримых функций.
§5. Теорема Вейерштрасса.
Глава V. Интеграл Лебега от ограниченной функции.
§1. Определение интеграла Лебега.
§2. Основные свойства интеграла.
§3. Предельный переход под знаком интеграла.
§4. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
§5. Восстановление первообразной функции.
Глава VI. Суммируемые функции.
§1. Интеграл неотрицательной измеримой функции.
§2. Суммируемые функции любого знака.
§3. Предельный переход под знаком интеграла.
Глава VII. Функции, суммируемые с квадратом.
§1. Основные определения. Неравенства. Норма.
§2. Сходимость в среднем.
§3. Ортогональные системы.
§4. Пространство l2.
§5. Линейно независимые системы.
§6. Пространства Lp и lр.
Глава VIII. Функции с конечным изменением. Интеграл Стилтьеса.
§1. Монотонные функции.
§2. Отображение множеств. Дифференцирование монотонной функции.
§3. Функции с конечным изменением.
§4. Принцип выбора Хелли.
§5. Непрерывные функции с конечным изменением.
§6. Интеграл Стилтьеса.
§7. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса.
§8. Линейные функционалы.
Глава IX. Абсолютно непрерывные функции. Неопределенный, интеграл Лебега.
§1. Абсолютно непрерывные функции.
§2. Дифференциальные свойства абсолютно непрерывных функций.
§3. Непрерывные отображения.
§4. Неопределенный интеграл Лебега.
§5. Замена переменной в интеграле Лебега.
§6. Точки плотности. Аппроксимативная непрерывность.
§7. Добавления к теории функций с конечным изменением и интегралов Стилтьеса.
§8. Восстановление первообразной функции.
Глава X. Сингулярные интегралы. Тригонометрические ряды. Выпуклые функции.
§1. Понятие сингулярного интеграла.
§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке.
§3. Приложения в теории рядов Фурье.
§4. Дальнейшие свойства тригонометрических рядов и рядов Фурье.
§5. Производные Шварца и выпуклые функции.
§6. Единственность разложения функции в тригонометрический ряд.
Глава XI. Точечные множества в двумерном пространстве.
§1. Замкнутые множества.
§2. Открытые множества.
§3. Теория измерения плоских множеств.
§4. Измеримость и мера как инварианты движения.
§5. Связь меры плоского множества с мерами его сечений.
Глава XII. Измеримые функции нескольких переменных и их интегрирование.
§1. Измеримые функции. Распространение непрерывных функций.
§2. Интеграл Лебега и его геометрический смысл.
§3. Теорема Фубини.
§4. Перемена порядка интегрирований.
Глава XIII. Функции множества и их применения в теории интегрирования.
§1. Абсолютно непрерывные функции множества.
§2. Неопределенный интеграл и его дифференцирование.
§3. Обобщение полученных результатов.
Глава XIV. Трансфинитные числа.
§1. Упорядоченные множества. Порядковые типы.
§2. Вполне упорядоченные множества.
§3. Порядковые числа.
§4. Трансфинитная индукция.
§5. Второй числовой класс.
§6. Алефы.
§7. Аксиома и теорема Цермело.
Глава XVI. Некоторые обобщения интеграла Лебега.
§1. Введение.
§2. Определение интеграла Перрона.
§3. Основные свойства интеграла Перрона.
§4. Неопределенный интеграл Перрона.
§5. Сравнение интегралов Перрона и Лебега.
§6. Абстрактно заданный интеграл и его обобщение.
§7. Узкий интеграл Данжуа.
§8. Теорема Г. Хаке.
§9. Теорема П. С. Александрова, Г. Ломана.
§10. Понятие о широком интеграле Данжуа.
Глава XVII. Функции с неограниченными областями задания.
§1. Мера неограниченного множества.
§2. Измеримые функции.
§3. Интегралы по неограниченным множествам.
§4. Функции, суммируемые с квадратом.
§5 Функции с конечным изменением. Интегралы Стилтьеса.
§6. Неопределенные интегралы и абсолютно непрерывные функции множества.
Глава XVIII Некоторые сведения из функционального анализа.
§1. Метрические и, в частности, линейные нормированные пространства.
§2. Компактность.
§3. Условия компактности в некоторых пространствах.
§4. Банаховский «принцип неподвижной точки» и некоторые его приложения.
Добавления.
I Длина дуги кривой.
II Пример Штейнгауза.
III Некоторые дополнительные сведения о выпуклых функциях.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Натансон