Дифференциальное исчисление функций одного переменного, Иванова Е.Е., 1998

Дифференциальное исчисление функций одного переменного, Иванова Е.Е., 1998.

   Книга является вторым выпуском комплекса учебников „Математика в техническом университете”. Знакомит читателя с понятиями производной и дифференциала, с их использованием при исследовании функций одного переменного. Большое внимание уделено геометрическим приложениям дифференциального исчисления и его применению к решению нелинейных уравнений, интерполированию и численному дифференцированию функций. Приведены примеры и задачи физического, механического и технического содержания.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических вузов. Может быть полезна преподавателям и аспирантам.




Отделение корней алгебраических уравнений.
Тонное решение алгебраических уравнений третьей и четвертой степеней громоздко. В прикладных задачах числовые значения коэффициентов многочленов в левой части этих уравнений известны обычно приближенно, и находить точные значения корней этих уравнений часто не целесообразно. Алгебраическое уравнение степени выше четвертой в общем случае не имеет точного аналитического решения. Поэтому на практике алгебраические уравнения третьей и выше степени решают численно. В связи с этим важным становится первый этап численного решения таких уравнений — отделение корней.

Ограничимся рассмотрением действительных корней алгебраических уравнений с действительными коэффициентами, т.е. действительных нулей соответствующих многочленов.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Основные обозначения.
1. Производная функции.
1.1. Вводные замечания.
1.2. Разностное отношение.
1.3. Понятие производной.
1.4. Механический и геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к плоской кривой.
1.5. Производные основных элементарных функций.
1.6. Односторонние конечные и бесконечные производные
1.7. Дифференцируемость функции. Непрерывность дифференцируемой функции.
Вопросы и задачи.
2. Правила дифференцирования функций.
2.1. Дифференцирование и арифметические операции.
2.2. Производная сложной функции.
2.3. Производная обратной функции.
2.4. Производная функции, заданной параметрически.
2.5. Дифференцирование неявных функций.
2.6. Основные правила и формулы дифференцирования функций.
Вопросы и задачи.
3. Дифференциал.
3.1. Определение дифференциала и его геометрический смысл.
3.2. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы записи дифференциала.
3.3. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
Д.3.1. Оценка погрешности приближенных вычислений.
Вопросы и задачи.
4. Производные и дифференциалы высших порядков
4.1. Производные высших порядков.
4.2. Примеры механической и физической интерпретаций производной второго порядка.
4.3. Формула Лейбница.
4.4. Производные высших порядков параметрически и неявно заданных функций.
4.5. Дифференциалы высших порядков.
Д.4.1. Геометрическое и механическое толкование дифференциала второго порядка.
Вопросы и задачи.
5. Основные теоремы дифференциального исчисления.
5.1. Теоремы о нулях производных.
5.2. Теорема Лагранжа и формула конечных приращений.
5.3. Теорема Коши.
Д.5.1. О непрерывности производных.
Вопросы и задачи.
6. Раскрытие неопределенностей
6.1. Раскрытие неопределенности вида [0/0].
6.2. Неопределенность вида [∞/∞].
6.3. Особенности применения правила Бернулли — Лопиталя.
6.4. Другие виды неопределенностей.
Вопросы и задачи.
7. Формула Тейлора.
7.1. Линейное и квадратичное приближения функции.
7.2. Многочлен Тейлора и формула Тейлора.
7.3. Различные представления остаточного члена формулы Тейлора.
7.4. Формула Маклорена.
7.5. Вычисление пределов при помощи формулы Тейлора
Д.7.1. Использование формулы Тейлора в приближенных вычислениях.
Д.7.2. Обобщенная теорема о среднем значении.
Вопросы и задачи.
8. Исследование функций.
8.1. Условия возрастания и убывания функций.
8.2. Экстремум функции. Необходимые условия существования экстремума.
8.3. Достаточные условия существования экстремума функции.
8.4. Условия выпуклости функции.
8.5. Точки перегиба.
8.6. Наибольшее и наименьшее значения функции в промежутке.
8.7. Асимптоты графика функции.
8.8. Общая схема исследования функции и построение ее графика.
Д.8.1. Особенности исследования функций, заданных параметрически.
Вопросы и задачи.
9. Геометрические приложения дифференциального исчисления.
9.1. Векторная функция скалярного аргумента.
9.2. Понятие кривой.
9.3. Плоские кривые.
9.4. Кривизна плоской кривой.
9.5. Эволюта и эвольвента плоской кривой.
Д.9.1. Кривизна и кручение пространственной кривой.
Д.9.2. Примеры плоских кривых.
Вопросы и задачи.
10. Интерполирование и численное дифференцирование.
10.1. Табличный способ задания функции.
10.2. Линейная интерполяция.
10.3. Квадратичная интерполяция.
10.4. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
10.5. Интерполяционный многочлен Ньютона.
10.6. Интерполирование с кратными узлами.
10.7. Численное дифференцирование.
Д.10.1. Минимизация погрешности интерполяции.
Д.10.2. Интерполирование сплайнами.
Вопросы и задачи.
11. Решение нелинейных уравнений.
11.1. Постановка задачи.
11.2. Нули многочленов.
113. Точные решения алгебраических уравнений.
11.4. Отделение корней алгебраических уравнений.
11.5. Численные методы уточнения значения корня.
11.6. Метод простой итерации.
11.7. Метод Ньютона.
11.8. Комбинированные методы.
Д.11.1. Метод Чебышева.
Вопросы и задачи.
Список рекомендуемой литературы.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Иванова