Краткий курс функционального анализа, Люстерник Л.А., Соболев В.И., 1982

Краткий курс функционального анализа, Люстерник Л.А., Соболев В.И., 1982.

   Книга написана в соответствии с программой по курсу функционального анализа для университетов. Изложение материала ведется на высоком методическом и научном уровне, рассматривается широкий круг вопросов, имеется большое число интересных примеров и приложений.
Предназначается для студентов университетов.




КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ.
Основные понятия. Более ста лет тому назад чешский математик Б. Больцано заметил, что всякое ограниченное бесконечное множество точек числовой прямой имеет хотя бы одну предельную точку, и обратил внимание на важность этого факта для строгого обоснования математического анализа. Идея выделения сходящейся последовательности из некоторых множеств, состоящих уже не из точек, а из функций или кривых, была использована при доказательстве теоремы существования решения обыкновенного дифференциального уравнения, в вариационном исчислении и т. д., что привело к общему определению компактности множества, расположенного в некотором пространстве.

Множество М метрического пространства Х называется компактным, если из всякого бесконечного подмножества множества М можно выделить последовательность, сходящуюся к некоторой точке этого множества.

Из определения компактности и того факта, что в метрическом пространстве всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, следует, что компактное множество замкнуто. Ясно, что замкнутое подмножество компактного множества является компактным.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава I. Необходимые сведения из анализа, алгебры и топологии.
§1. Функциональная зависимость. Пространство. Упорядоченность.
§2. Мера и интеграл Лебега.
§3. Линейные пространства.
§4. Метрические пространства.
§5. Примеры метрических пространств.
§6. Полные пространства. Полнота некоторых конкретных пространств. Пополнение метрических пространств.
§7. Теоремы о полных пространствах. Принцип сжимающих отображений.
§8. Сепарабельные пространства.
§9. Компактные множества в метрических пространствах.
§10. Топологические пространства.
Глава II. Линейные нормированные и линейные топологические пространства.
§1. Линейные нормированные пространства.
§2. Компактные множества в линейных нормированных пространствах.
§3. Абстрактное гильбертово пространство.
§4. Линейные топологические пространства.
Упражнения.
Глава III. Линейные операторы.
§1. Линейные операторы в линейных топологических пространствах.
§2. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах.
§3. Линейные функционалы.
§4. Пространство линейных непрерывных операторов.
§5. Обратные операторы и теорема Банаха о гомеоморфизме.
§6. Теоремы о замкнутом графике и об открытом отображении.
§7. Пространство Банаха с базисом.
Упражнения.
Глава IV. Линейные функционалы.
§1. Теорема Банаха—Хана и ее следствия.
§2. Отделение выпуклых множеств.
§3. Общий вид линейных функционалов в некоторых функциональных пространствах.
§4. Сопряженные пространства и сопряженные операторы.
§5. Слабая сходимость.
§6. Универсальность пространства С (0, 1J.
Упражнения.
Глава V. Вполне непрерывные операторы и уравнения с ними.
§1. Вполне непрерывные операторы.
§2. Линейные операторные уравнения с вполне непрерывными операторами.
§3. Принцип неподвижной точки Шаудера и его применения. Упражнения.
Глава VI. Элементы дифференциального и интегрального исчислений в линейных нормированных пространствах.
§1. Дифференциал и производная Фреше.
§2. Производная Гато.
§3. Теорема о локальном обращении дифференцируемого отображения. Метод Ньютона.
§4. Производные высших порядков. Формула Тейлора.
§5. Теорема о неявной функции и ее приложения.
§6. Касательные многообразия и задачи на экстремум.
§7. Интегрирование абстрактных функций.
Упражнения.
Глава VII. Элементы спектральной теории ограниченных самоспряженных операторов в гильбертовом пространстве.
§1. Самосопряженные операторы.
§2. Унитарные и проекционные операторы.
§3. Положительные операторы. Квадратный корень из положительного оператора.
§4. Спектр самосопряженного оператора.
§5. Спектральное разложение самосопряженного оператора.
Дополнения.
Литература.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Люстерник :: Соболев