Математика и ее приложения, часть 1, линейная алгебра и аналитическая геометрия, математический анализ, Борисова О.Н., Яцкевич А.Б., 2004

Математика и ее приложения, Часть 1, Линейная алгебра и аналитическая геометрия., Математический анализ , Борисова О.Н., Яцкевич А.Б. 2004.


В данном учебном пособии излагаются основные теоретические сведения и приводятся решения задач контрольных работ по математике для студентов - заочников КИУЭС.

Пособие может служить путеводителем при работе с более полными и подробными курсами математики.




Примеры.
1.Решение систем линейных уравнений.
Имеется три основных способа решения систем линейных уравнений. Первым является метод Гаусса последовательного исключения переменных. Два других способа – метод обратной матрицы и правило Крамера.

2.Решить систему линейных уравнений тремя способами:
а) методом Гаусса последовательных исключений неизвестных;
б) по формуле с вычислением обратной матрицы ;
в) по формулам Крамера.

3.Начнем с метода Гаусса последовательных исключений неизвестных. Сначала нужно преобразовать систему уравнений так, чтобы переменная осталась только в одном уравнении системы, например, в первом. Затем уравнение, в которое входит, отбрасывают, и рассматривают систему из оставшихся уравнений, в котором число уравнений и число неизвестных уменьшилось. Эту редуцированную систему преобразуют так, чтобы переменная осталась только в одном уравнении. Затем уравнение, в которое входит, отбрасывают, и вновь рассматривают систему из меньшего числа уравнений. Преобразования с последовательным исключением неизвестных х, х, и т.д. продолжают до тех пор, пока к каждой неизвестной не будет применена процедура исключения. После этого значения х, х, х,… определяют сначала из последнего уравнения, затем из предпоследнего и т.д., вплоть до первого уравнения.

Итак, возьмем первое уравнение системы и с его помощью исключим переменную из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение перепишем без изменений, а второе и третье уравнения сложим с подходящими коэффициентами с первым уравнений системы. Сначала умножим первое уравнение системы на 10, второе на , а затем сложим полученные уравнения.

4.Мы привели систему уравнений к так называемому верхнетреугольному виду. Теперь методом обратного хода можно определить сначала значение переменной из последнего уравнения системы, затем значение переменной из второго уравнения, и, наконец, значение переменной из первого уравнения.

5.Решим теперь ту же систему уравнений матричным способом, с вычислением обратной матрицы.
Напомним основные понятия матричной алгебры. Матрицей размера называется таблица, в которой имеется строк и столбцов. Элемент матрицы , стоящий в i-й строке, j–м столбце, обозначается через . Матрицы и размера и можно перемножить, и получить в результате матрицу C=A B, C=(c), размера m X n по следующему правилу:

6.Определитель матрицы размера сводится к вычислению трех определителей матриц размера по следующему правилу: надо выделить произвольную строку (или столбец) матрицы, умножить каждый элемент этой строки (столбца) на знак этого элемента, и умножить на минор элемента, а затем все полученные произведения сложить. Это правило называется разложением определителя по строке (столбцу). Можно показать, что результат не зависит от выбора строки или столбца.

7.Если определитель матрицы системы линейных уравнений равен нулю (или число уравнений системы меньше числа неизвестных), то либо имеется бесконечно много решений, либо система противоречива, и решений нет вовсе. Разберем на примере, как можно описать все решения вырожденной системы уравнений, используя метод Гаусса последовательного исключения неизвестных.

8.Мы привели систему к верхнетреугольному виду, однако для двух неизвестных (а именно, для и для) не хватило “своего” уравнения для преобразования исключения. В этом случае переменные, объявляются свободными (то есть их значения могут выбираться произвольным образом), а значения остальных переменных (они называются базисными) могут быть выражены через значения свободных переменных.

9.Обозначим через определитель матрицы. Пусть есть определитель матрицы, в которой вместо первого столбца стоит столбец. Пусть есть определитель матрицы, в которой вместо второго столбца стоит столбец. Наконец, пусть есть определитель матрицы, в которой вместо третьего столбца стоит столбец.

10.Общее решение неоднородного уравнения может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения. Это частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов по следующему правилу.

11.Правая часть исходного неоднородного уравнения имеет то же собственное число, что и характеристическое уравнение, следовательно, мы имеем дело с резонансом. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математика и ее приложения, часть 1, линейная алгебра и аналитическая геометрия, математический анализ, Борисова О.Н., Яцкевич А.Б., 2004 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать doc
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать книгу Математика и ее приложения, Часть 1, Линейная алгебра и аналитическая геометрия., Математический анализ , 2004 - doc - depositfiles.

Скачать книгу Математика и ее приложения, Часть 1, Линейная алгебра и аналитическая геометрия., Математический анализ , 2004 - doc - Яндекс.Диск.




Теги: математика :: линейная алгебра :: математический анализ :: Борисова :: Яцкевич