Элементарная геометрия, Книга для учителя, Болтянский В.Г., 1985

Элементарная геометрия, Книга для учителя, Болтянский В.Г., 1985.

   В книге дается углубленное математическое изложение основных фактов элементарной геометрии, построенное на векторной основе с использованием аксиоматики Вейля. Она может быть использована для углубленного ознакомления с геометрией именно в том аспекте, в котором она входит в современную математику и ее приложение.




ВЕКТОРЫ И ТОЧКИ.
Дальнейшее изложение содержит систематическое построение евклидовой геометрии. Предполагается, что читатель знаком с основными фактами, относящимися к планиметрии. Напротив, все факты стереометрии будут здесь подробно рассмотрены. Попутно будут заново доказаны и теоремы планиметрии.

Изложение геометрии будет проведено на основе аксиоматического метода. Аксиоматическое построение какой-либо теории состоит в том, что перечисляются первоначальные (неопределяемые) понятия и формулируются аксиомы (т. е. первоначальные факты); дальнейшие понятия вводятся с помощью определений, а дальнейшие факты (теоремы) доказываются с помощью аксиом и уже доказанных теорем. В этой книге изложение ведется на основе системы аксиом, предложенной Вейлем.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Введение.
1. Понятие о геометриях Евклида и Лобачевского.
Глава I. Прямая в пространстве.
2. Векторы и точки.
3. Свойства суммы векторов.
4. Свойства произведения вектора на число.
5. Прямая.
6. Отрезок и луч.
7. Параллельные прямые.
8. Размерность (число измерений).
9. Скрещивающиеся прямые.
Глава II. Плоскость в пространстве.
10. Плоскость и ее базис.
11. Замена базиса плоскости.
12. Дополнение до базиса.
13. Прямая, параллельная плоскости.
14. Две прямые в плоскости.
15. Параллельные плоскости.
16. Непараллельные плоскости.
Глава III. Координаты.
17. Аксиомы скалярного произведения.
18. Ортогональные векторы.
19. Ортонормированные базисы.
20. Координаты векторов в пространстве.
21. Угол между векторами.
22. Система.координат в пространстве.
Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей.
23. Нормаль к плоскости.
24. Перпендикулярные прямые и плоскости.
25. Ортогональное проектирование.
26. Угол между прямой и плоскостью.
27. Уравнение плоскости.
Глава V. Выпуклые многогранники.
28. Полуплоскость.
29. Выпуклые множества.
30. Многоугольники.
31. Полупространство.
32. Двугранный угол.
33. Теорема о площади проекции.
34. Выпуклые многогранники.
35. Призма.
36. Пирамида и усеченная пирамида.
37. Изображение многогранников на плоскости.
Глава VI. Движения плоскости и пространства.
38. Определение движений.
39. Движения и координаты.
40. Понятие об ориентации.
41. Параллельный перенос.
42. Поворот плоскости.
43. Теорема Шаля.
44. Классификация движений пространства.
45. Группа самосовмещений.
46. Цилиндр и конус.
47. Шар и сфера.
48. Гомотетия и подобие.
49. Эрлангенская программа Ф. Клейна.
Глава VII. Непротиворечивость вейлевской аксиоматики.
50. Непротиворечивость и понятие модели.
51. Доказательство непротиворечивости.
Глава VIII. Центр масс системы материальных точек.
52. Определение центра масс.
53. Основное свойство центра масс.
54. Отрицательные массы.
55. Барицентрические координаты.
Глава IX. Понятие о линейном программировании.
56. Опорные прямые и плоскости.
57. Линейные функции на многоугольниках и многогранниках.
58. Транспортная задача.
59. Задачи с многими переменными.
60. Понятие о многомерных пространствах.
Глава X. Определители второго и третьего порядков.
61. Определитель второго порядка.
62. Система двух линейных уравнений.
63. Площадь параллелограмма и треугольника.
64. Определитель третьего порядка.
65. Система трех линейных уравнений.
66. Ориентация.
67. Определители и объемы.
68. Понятие собственного вектора.
69. Доказательство пространственной теоремы Шаля.
Глава XI. Геометрия комплексных чисел
70. Поле комплексных чисел.
71. Корни многочленов.
72. Комплексные уравнения прямой и окружности.
73. Инверсия.
Глава XII. Линии второго порядка.
74. Классификация линий второго порядка.
75. Эллипс.
76. Гипербола.
77. Парабола.
78. Сечения конической поверхности.
79. Понятие о проективных свойствах.
80. Ангармоническое отношение.
81. Полисы и поляры.
Глава XIII. Измерение геометрических величин.
82. Длина отрезка.
83. Определение площади многоугольника.
84. Свойства площади многоугольника.
85. Общее понятие площади.
86. Площадь и первообразная.
87. Объем.
88. Длина спрямляемой линии.
89. О понятии площади поверхности.
90. Об измерении углов.

Купить .





Теги: учебник по геометрии :: геометрия :: Болтянский