Линейная алгебра, Канатников А.Н., Крищенко А.П., 2002

Линейная алгебра, Канатников А.Н., Крищенко А.П., 2002.

   Книга является четвертым выпуском серии „Математика в техническом университете" и содержит изложение базового курса по линейной алгебре. Дополнительно включены основные понятия тензорной алгебры и итерационные методы численного решения систем линейных алгебраических уравнений. Материал изложен в объеме, необходимом для подготовки студента технического университета.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.




Базис линейного пространства.
В линейном пространстве наибольший интерес представляют системы векторов, в виде линейной комбинации которых можно представить любой вектор, причем единственным образом. Если зафиксировать такую систему векторов, то любой вектор можно будет однозначно представить набором чисел, являющихся коэффициентами соответствующей линейной комбинации, а всевозможные векторные соотношения превратить в соотношения числовые.

Этот подход применялся уже в аналитической геометрии [III]. В пространстве V2 векторов на плоскости любые два неколлинеарных вектора образуют базис, так как через такую пару векторов любой вектор плоскости выражается однозначно в виде линейной комбинации [III]. Аналогично в V3 (множестве векторов в пространстве) базис образуют любые три некомпланарных вектора. Для матриц использовалось понятие базисных строк и базисных столбцов. По теореме о базисном миноре базисные строки (столбцы) линейно независимы, а любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Основные обозначения.
Введение.
1. Линейные пространства.
1.1. Определение линейного пространства.
1.2. Свойства линейного пространства.
1.3. Линейная зависимость.
1.4. Свойства систем векторов.
1.5. Базис линейного пространства.
1.6. Линейные операции в координатной форме.
1.7. Размерность линейного пространства.
1.8. Преобразование координат вектора при замене базиса.
Д.1.1. Линейное пространство над полем Р.
Вопросы и задачи.
2. Линейные подпространства.
2.1. Определение и примеры.
2.2. Пересечение и сумма линейных подпространств.
2.3. Прямая сумма линейных подпространств.
2.4. Размерность линейного подпространства.
2.5. Ранг системы векторов.
2.6. Линейные оболочки и системы уравнений.
2.7.  Прямое дополнение.
Вопросы и задачи.
3. Евклидовы пространства.
3.1. Определение евклидова пространства.
3.2. Неравенство Коши — Буняковского.
3.3. Нормированные пространства.
3.4. Угол между векторами.
3.5. Ортогональные системы векторов.
3.6. Ортогональные и ортонормированные базисы.
3.7. Вычисления в ортонормированием базисе.
3.8. Процесс ортогонализации Грама — Шмидта.
3.9. Ортогональное дополнение.
Д.3.1. Нормы матриц.
Д.3.2. Метод наименьших квадратов.
Д.3.3. Псевдорешения и псевдообратная матрица.
Вопросы и задачи.
4. Линейные операторы.
4.1. Определение и примеры линейных операторов.
4.2. Изоморфизм линейных пространств.
4.3. Матрица линейного оператора.
4.4. Преобразование матрицы линейного оператора.
4.5. Произведение линейных операторов.
4.6. Линейные пространства линейных операторов.
Вопросы и задачи.
5. Собственные векторы и собственные значения.
5.1. Характеристическое уравнение матрицы.
5.2. Характеристическое уравнение линейного оператора.
5.3. Собственные векторы линейного оператора.
5.4. Вычисление собственных значений и собственных векторов.
5.5. Свойства собственных векторов.
Д.5.1. Жорданова нормальная форма.
Вопросы и задачи.
6. Самосопряженные операторы.
6.1. Сопряженный оператор.
6.2. Самосопряженные операторы и их матрицы.
6.3. Собственные векторы самосопряженного оператора.
Д.6.1. Инвариантные подпространства самосопряженного оператора.
Вопросы и задачи.
7. Ортогональные матрицы и операторы.
7.1. Ортогональные матрицы и их свойства.
7.2. Ортогональные операторы.
7.3. Матрицы перехода в евклидовом пространстве.
7.4. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду.
Вопросы и задачи.
8. Квадратичные формы.
8.1. Определение квадратичной формы.
8.2. Преобразование квадратичных форм.
8.3. Квадратичные формы канонического вида.
8.4. Ортогональные преобразования квадратичных форм.
8.5. Закон инерции.
8.6. Критерий Сильвестра.
Д.8.1. Билинейные формы.
Вопросы и задачи.
9. Кривые и поверхности второго порядка.
9.1. Поверхности второго порядка.
9.2. Изменение системы координат.
9.3. Упрощение уравнения поверхности второго порядка.
9.4. Примеры.
9.5. Классификация кривых второго порядка.
9.6. Классификация поверхностей второго порядка в пространстве.
Вопросы и задачи.
10. Элементы тензорной алгебры.
10.1. Сопряженное пространство.
10.2. Полилинейные формы.
10.3. Тензоры.
10.4. Операции с тензорами.
Вопросы и задачи.
11. Итерационные методы.
11.1. Обусловленность квадратных матриц.
11.2. QR-разложение. Сингулярное разложение.
11.3. Описание итерационных методов.
11.4. Сходимость итерационных методов.
11.5. Скорость сходимости стационарных итерационных методов.
Вопросы и задачи.
Список рекомендуемой литературы.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по алгебре :: алгебра :: Канатников :: Крищенко