Дифференциальное исчисление функций многих переменных - Канатников А.Н. Крищенко А.П. Четвериков В.Н.

Название: Дифференциальное исчисление функций многих переменных. 2000.

Автор: Канатников А.Н. Крищенко А.П. Четвериков В.Н.

    В пятом выпуске подробно рассмотрены основополагающие понятия предела и непрерывности функций многих переменных, свойства дифференцируемых функций, вопросы поиска абсолютного и условного экстремумов функций многих переменных. Отражена связь дифференциального исчисления функций многих переменных с дифференциальной геометрией. Рассмотрены методы решения систем нелинейных уравнений.
   Теоретический материал изложен с применением методов линейной и матричной алгебры и иллюстрирован разбором примеров и задач. В конце каждой главы приведены вопросы и задачи для самостоятельного решения.
    Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие. 5
Основные обозначения. 11
Введение. 17
1. Функции многих переменных как отображения. 20
1.1. Открытые и замкнутые множества. 20
1.2. Функции многих переменных. 31
1.3. Предел функции многих переменных. 38
1.4. Непрерывность функции многих переменных. 52
1.5. Линии и поверхности разрыва. 58
1.6. Непрерывность по части переменных. 60
1.7. Свойства функций многих переменных, непрерывных на компактах. 62
Вопросы и задачи. 63
2. Дифференцируемые функции многих переменных. 69
2.1. Частные производные. 69
2.2. Геометрическая интерпретация частных производных. 73
2.3. Дифференцируемость функций многих переменных. 75
2.4. Необходимые условия дифференцируемое. 77
2.5. Достаточное условие дифференцируемости. 83
2.6. Дифференцируемость сложной функции. 86
2.7. Дифференциал функции многих переменных. 91
Вопросы и задачи. 94
3. Производные и дифференциалы высших порядков. 96
3.1. Частные производные второго порядка. 96
3.2. Частные производные высших порядков. 103
3.3. Дифференциалы высших порядков. 104
3.4. Формула Тейлора. 108
3.5. Дифференциалы в приближенных вычислениях. 112
Вопросы и задачи. 114
4. Неявные функции. 116
4.1. Случай уравнения с двумя неизвестными. 117
4.2. Общий случай. 124
4.3. Обратная функция. 132
Вопросы и задачи. 137
5. Геометрические приложения. 139
5.1. Производная по направлению. 139
5.2. Градиент. 141
5.3. Касательная плоскость и нормаль. 147
5.4. Касательная и нормаль кривой на плоскости. 153
Вопросы и задачи. 156
6. Экстремум функции многих переменных. 158
6.1. Необходимое условие экстремума. 158
6.2. Достаточное условие экстремума. 161
6.3. Достаточные условия экстремума функции двух переменных. 165
6.4. Исследование функций на экстремум. 167
Вопросы и задачи. 169
7. Условный экстремум. 170
7.1. Общая постановка задачи. 170
7.2. Необходимое условие условного экстремума. 172
7.3. Достаточные условия условного экстремума. 177
7.4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений. 186
Вопросы и задачи. 189
8. Геометрия поверхностей. 191
8.1. Гладкая поверхность. 192
8.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 199
8.3. Первая квадратичная форма поверхности. 202
8.4. Вторая квадратичная форма поверхности. 211
8.5. Классификация точек поверхности. 215
8.6. Нормальная кривизна поверхности. 224
8.7. Главные направления и главные кривизны поверхности. 228
Д.8.1. Внутренняя и внешняя геометрии поверхности. 235
Вопросы и задачи. 243
9. Численные методы решения систем нелинейных уравнений. 247
9.1. Итерационные методы решения. 248
9.2. Метод Ньютона. 258
9.3. Проблема глобальной сходимости. 265
Вопросы и задачи. 273
10. Интерполирование функций многих переменных. 274
10.1. Интерполяционные сплайны первой степени. 274
10.2. Билинейные интерполяционные сплайны. 282
10.3. Кубические сплайны одного переменного. 287
10.4. Бикубические сплайны двух переменных. 293
10.5. Приближение кривых и поверхностей. 298
Вопросы и задачи. 304
11. Дифференциальное исчисление на многообразиях. 306
11.1. Определение гладкого многообразия. 306
11.2. Примеры многообразий. 323
11.3. Гладкие отображения многообразий. 333
11.4. Касательные векторы. 342
11.5. Касательное расслоение и дифференциал. 360
11.6. Векторные поля на многообразиях. 367
11.7. Фазовый поток векторного поля. 376
11.8. Алгебра .Ли векторных полей. 385
11.9. Распределения и теорема Фробениуса. 394
Д. 11.1. Системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных. 414
Д.11.2. Некоторые приложения теории векторных полей и распределений. 421
Вопросы и задачи. 437
Список рекомендуемой литературы. 443
Предметный указатель.


Задания для самопроверки:
4.    Может ли пересечение множеств совпадать с объединением этих множеств?    

5.   Является ли множество натуральных чисел подмножеством множества действительных чисел?    

6.     Что называют окрестностью точки на числовой прямой? Что понимают под проколотой окрестностью точки?    

7.    Сформулируйте теорему о связи функции действительного переменного, ее предела и бесконечно малой. В каких случаях бесконечно малая функция является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая бесконечно малая? Какова связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями?

Купить книгу - Дифференциальное исчисление функций многих переменных - Канатников А.Н. Крищенко А.П. Четвериков В.Н.

Купить книгу - Дифференциальное исчисление функций многих переменных - Канатников А.Н. Крищенко А.П. Четвериков В.Н.





Теги: скачать книгу по математике бесплатно :: дифференциальное исчисление :: Канатников :: Крищенко