Дифференциальные уравнения, То решаем, то рисуем, Аносов Д.В., 2008

Дифференциальные уравнения, То решаем, то рисуем, Аносов Д.В., 2008.

   В книге рассказывается о дифференциальных уравнениях. В одних случаях автор объясняет, как решаются дифференциальные уравнения, а в других — как геометрические соображения помогают понять свойства их решений. (С этим и связаны слова «то решаем, то рисуем» в названии книги.) Рассмотрено несколько физических примеров. На максимально упрощённом уровне рассказано о некоторых достижениях XX века, включая понимание механизма возникновения «хаоса» в поведении детерминированных объектов.
Книга рассчитана на интересующихся математикой школьников старших классов. От них требуется лишь понимание смысла производной как мгновенной скорости. Книга не заменяет вузовские учебники, но так как в ней затрагиваются и не освещаемые в них вопросы, а часть других вопросов освещается иначе, то она может заинтересовать и студентов вузов со значительной математической программой.




Показательная функция.
Этот и следующий параграфы отчасти являются отступлениями от нашей «основной линии»: в них нет речи о геометрической или кинематической интерпретации дифференциальных уравнений (за исключением самого конца § 5, который, в свою очередь, является отступлением от основной темы этого параграфа) и вообще почти нет геометрических соображений; вместо этого в §4 мы займёмся показательной функцией ех (экспонентой), а в § 5 приведём пример её использования в теории дифференциальных уравнений. При желании эти два параграфа можно пропустить. Но, с другой стороны, роль экспоненты в этой теории настолько велика, что было бы странно говорить о дифференциальных уравнениях, совсем не упоминая о ех. Тем более, что и вообще в математике и в её приложениях экспонента играет столь же важную роль, что и всем известные многочлены.

Если с многочленами худо ли, хорошо ли учащийся знакомится ещё в школе на протяжении нескольких лет, то знакомство с экспонентой является намного менее основательным. Это до некоторой степени неизбежно — само определение экспоненты, не говоря уже об исследовании её свойств, требует использования понятия предела, а его невозможно ввести до последних классов. А важнейшее свойство экспоненты, на котором основано большинство её применений, касается её производной. Интуитивно производная, может быть, проще предела, потому что, как уже подчёркивалось, производная — это попросту мгновенная скорость (о которой что-то знает всякий, видевший спидометр автомобиля), но при аккуратном определении этого понятия и при обсуждении его свойств приходится привлекать пределы. Из-за этого знакомство с экспонентой тоже приходится на самый конец обучения в школе, даже если это специализированная физматшкола. А может быть, окончательное знакомство читателя с ней состоялось, только когда он стал студентом.

Оглавление.
Предисловие.
§1. Введение.
§2. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений.
§3. Примеры фазовых портретов.
§4. Показательная функция.
§5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
§6. Автоколебания.
§7. Теория Пуанкаре-Бендиксона. Грубость и типичность.
§8. Хаос.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Аносов