Аналитическая геометрия и линейная алгебра, Теория и решение задач, Епихин В.Е., Граськин С.С., 2021

Аналитическая геометрия и линейная алгебра, Теория и решение задач, Епихин В.Е., Граськин С.С., 2021.

   Рассмотрены методы решения геометрических задач с помощью векторов. Приведены понятия метрического аффинного пространства, аффинного точечно-векторного пространства, векторные и аналитические методы решения метрических и позиционных задач стереометрии, решения систем линейных уравнений, а также геометрических преобразований пространства. Содержит свыше 200 задач по стереометрии и алгебре с подробными решениями, а также 220 упражнений, снабженных ответами, указаниями или решениями. Каждый раздел заканчивается коллоквиумом, в который входят контрольные вопросы по изученным темам. Соответствует ФГОС ВО последнего поколения. Для студентов бакалавриата педагогических, математических и технических факультетов. Может быть полезно учащимся общеобразовательных и специализированных школ, лицеев, гимназий и колледжей. Рекомендуется также учителям математики, преподавателям и слушателям подготовительных курсов.




АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД.
Аксиоматический метод зародился в Древней Греции и доныне применяется в теоретических науках, прежде всего в математике. Этот метод построения научной теории включает этап выделения основных понятий и формулирования аксиом теории.

При доказательстве утверждений математики опираются на предпосылки, которые сами нуждаются в доказательстве. В результате получается «бесконечное возвращение назад». Подобная ситуация возникает и при попытке давать определения новым понятиям, основываясь на ранее введенных понятиях.

Для того чтобы избежать «бесконечного возвращения назад», применяют аксиоматический метод. При этом некоторые понятия и связывающие их отношения считаются не определяемыми, а как бы данными, и принимаются без доказательства ввиду их «самоочевидности». Каждое понятие разъясняется с помощью других, которые в свою очередь определяются с помощью известных понятий. Наконец приходят к элементарным понятиям и отношениям, которые называются основными и считаются неопределяемыми.

СОДЕРЖАНИЕ.
Предисловие.
Введение.
Основные обозначения курса.
РАЗДЕЛ 1. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД.
Глава 1. Геометрические аксиоматики.
§1.1. Евклидовы «начала».
§1.2. Метод координат.
Научный метол Декарта.
Аксиома Декарт.
§1.3. Метод интерпретаций.
§1.4. Интерпретации геометрии Евклида.
Аксиома параллельности.
§1.5. Неевклидова геометрия.
§1.6. Аксиоматический метол в математике.
§1.7. Аксиоматика Д. Гильберта евклидовой геометрии.
I. Аксиомы принадлежности.
II. Аксиомы порядка.
III. Аксиомы конгруэнтности.
IV. Аксиома непрерывности.
V. Аксиома параллельности.
§1.8. Абсолютная геометрия.
§1.9. Векторное исчисление.
§1.10. Аксиоматический метод в научном познании.
Заключение к разделу 1.
РАЗДЕЛ 2. АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО.
Глава 2. Аксиоматика Г. Вейля.
§2.1. Элементы векторной геометрии и четыре группы аксиом аффинного пространства.
Основные понятия.
Множества и их элементы.
Основные соответствия.
§2.2. Группа аксиом I: аксиомы связи.
§2.3. Группа аксиом II: аксиома сложения векторов.
§2.4. Группа аксиом III: аксиомы умножения вектора на число.
§2.5. Линейная зависимость системы векторов.
§2.7. Геометрическая модель координат вектора.
§2.8. Связанные и свободные векторы.
Коллоквиум по разделам 1—2.
Аксиоматический метол и геометрия.
Аксиоматика Г. Вейля. Аффинное пространство.
Глава 3. Теоремы о прямых и плоскостях.
§3.1. Прямая и аффинном пространстве.
§3.2. Геометрический центр множества точек.
§3.3. Прямая на плоскости.
3.3.1. Общее уравнение прямой на плоскости.
3.3.2. Полуплоскость.
3.3.3. Эквивалентность двух определений параллельности прямых.
3.3.4. Теорема Фалеса.
3.3.5. Теоремы о связке прямых.
3.3.6. Теоремы о трансверсалях.
§3.4. Плоскость в аффинном пространстве.
3.4.1. Общее уравнение плоскости.
3.4.2. Полупространство.
§3.5. Прямая и плоскость в пространстве.
§3.6. Скрещивающиеся прямые.
§3.7. Выпуклые множества на плоскости и в пространстве.
§3.8. Многогранники.
§3.9. Построение плоских сечений многогранников.
Коллоквиум по разделу 2.
Аффинное пространство. Теоремы о прямых и плоскостях.
РАЗДЕЛ 3. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО.
Глава 4. Понятия и теоремы евклидова пространства.
§4.1. Группа аксиом V аксиомы скалярного произведения.
§4.2. Расстояние между точками и пространстве.
§4.3. Углы в пространстве.
4.3.1. Угол между векторами.
4.3.2. Угол между прямыми.
§4.4. Свойства ортогональных проекции векторов.
§4.5. Метрические формулы в декартовой системе координат.
§4.6. Признаки перпендикулярности прямых и плоскостей.
4.6.1. Угол между прямой плоскостью.
4.6.2. Теоремы о взаимно перпендикулярных прямых и плоскостях.
4.6.3. Нормальное уравнение плоскости.
Глава 5. Аксиоматическая теория измерений.
Глава 6. Позиционные задачи стереометрии.
6.2.1. Расположение двух прямых в пространстве.
6.2.2. Взаимное расположение прямой и плоскости.
6.2.3. Взаимное расположение двух плоскостей.
6.2.4. Взаимное расположение трех плоскостей.
§6.3. Расстояние между фигурами в пространстве.
6.3.1. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
6.3.2. Нахождение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых.
§6.4. Взаимное расположение в пространстве тел вращения.
§6.5. Параллельное и ортогональное проектирование.
6.5.1. Свойства параллельного проектирования.
6.5.2. Вычисление плошали проекции плоской фигуры.
§6.6. Центральное проектирование.
§6.7. Формула Эйлера для выпуклых многогранников.
Коллоквиум по разделу 3.
Евклидово пространство. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
РАЗДЕЛ 4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
Глава 7. Решение систем линейных уравнений.
§7.1. Классификация систем линейных уравнений.
§7.2. Решение систем трехлинейных уравнений с тремя неизвестными. Правило Крамера.
7.2.1. Стереометрическая модель решений системы трех линейных алгебраических уравнений.
7.2.2. Решение системы двух линейных уравнений стремя неизвестными.
7.2.3. Влияние ошибок округления.
§7.3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
7.3.1. Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными.
7.3.2. Программная реализация метола Гаусса.
§7.4. Решение приводимых систем уравнений.
7.4.1. Приводимые системы уравнений и их решение.
7.4.2. Список упражнений.
§7.5. Действия с матрицами.
§7.6. Свойства детерминантов.
Глава 8. Геометрические преобразования пространства.
§8.1. Точечные отображения и преобразования.
§8.2. Основные геометрические преобразования.
8.2.1. Параллельное проектирование.
8.2.2. Гомотетия пространства относительно точки.
8.2.3. Преобразование подобии.
8.2.4. Равномерное растяжение (сжатие) к оси.
8.2.5. Преобразование инверсии.
8.2.6. Пространственная инверсия.
8.2.7. Композиция преобразований.
§8.3. Движения пространства.
§8.4. Виды движении.
8.4.1. Параллельный перенос (трансляции).
8.4.2. Преобразование симметрии.
8.4.3. Поворот пространства относительно оси.
8.4.4. Композиция движений.
8.4.5. Общие примеры композиций.
8.4.6. Группы симметрии геометрических фигур.
§8.5. Классификация движений.
8.5.1. Движения первого и второго рода.
8.5.2. Теорема Шаля.
§8.6. Матрицы геометрических преобразований.
8.6.1. Преобразование декартовых координат точек и векторов при движениях.
8.6.2. Аффинные преобразования.
Глава 9. Конические сечения.
§9.1. Вывод уравнения конуса.
§9.2. Вывод уравнения конического сечения.
§9.3. Нахождение канонического вида уравнения второго порядка.
§9.4. Характеристические свойства конических сечений.
9.4.1. Характеристическое свойство эллипса.
9.4.2. Характеристическое свойство гиперболы.
9.4.3. Характеристическое свойство параболы.
9.4.4. Общее характеристическое свойство кривых второго порядка.
§9.5. Стереометрическая модель кривых шорою порядка.
§9.6. Оптическое свойство кривых второго порядка.
Коллоквиум по разделу 4.
Системы линейных алгебраических уравнений. Геометрические преобразования пространства. Конические сечения.
Краткий этимологический словарь по геометрии.
ПРИЛОЖЕНИЕ.
Практикум по стереометрии.
Список литературы.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Епихин :: Граськин