Принципы комплексного анализа, Львовский С.М., 2017

Принципы комплексного анализа, Львовский С.М., 2017.

   Эта книга представляет собой курс теории функций комплексного переменного, основанный на авторском опыте преподавания этого предмета на факультете математики Высшейшколы экономики (НИУ ВШЭ) и в программе «Math in Moscow» (НИУ ВШЭ и Независимый московский университет). Наряду с традиционным материалом, курс содержит большую теорему Пикара и введение в теорию римановых поверхностей.
Для студентов математических специальностей.




Практикум по конформным отображениям.
В этой главе нет ни сложных определений, ни глубоких теорем: ее основная цель — дать примеры явного (т. е. с помощью элементарных функций) построения конформного отображения между данными открытыми подмножествами комплексной плоскости, чтобы читатель смог лучше почувствовать геометрический смысл элементарных функций комплексного переменного.

Определение 3.1. Если между открытыми множествами U, V с С существует конформное отображение, говорят, что эти два множества конформно изоморфны (или даже просто: изоморфны).

Конформное отображение открытого множества U с С на себя называется конформным автоморфизмом множества U.

Конформное отображение между двумя данными открытыми множествами существует нередко, но не всегда, а когда оно существует, далеко не всегда можно его выразить через элементарные функции. Поучимся делать то немногое, что сделать можно.

Оглавление.
Предисловие.
Глава 1. Предвартельные сведения.
1.1. Абсолютная и равномерная сходимость.
1.2. Открытость, замкнутость, компактность, связность.
1.3. Степенные ряды.
1.4. Экспонента.
1.5. Сведения из анализа функций многих переменных.
1.6. Дробно-линейные отображения.
Упражнения.
Глава 2. Производные.
2.1. Обратные функции, корни, логарифмы.
2.2. Уравнения Коши—Римана.
Упражнения.
Глава 3. Практикум по конформным отображениям.
3.1. Дробно-линейные отображения.
3.2. Более сложные отображения.
Упражнения.
Глава 4. Интегралы.
4.1. Основные определения.
4.2. Индекс кривой относительно точки.
Упражнения.
Глава 5. Теорема Коши и ее следствия.
5.1. Теорема Коши.
5.2. Формула Коши и аналитичность голоморфных функций.
5.3. Бесконечная и почленная дифференцируемость.
Упражнения.
Глава 6. Гомотопии и аналитическое продолжение.
6.1. Гомотопии путей.
6.2. Аналитическое продолжение.
6.3. Снова теорема Коши.
6.4. Снова индексы кривых.
Упражнения.
Глава 7. Ряды Лорана и особые точки.
7.1. Кратность нуля.
7.2. Ряды Лорана.
7.3. Изолированные особые точки.
7.4. Точка оо как изолированная особенность.
Упражнения.
Глава 8. Вычеты.
8.1. Основные определения.
8.2. Принцип аргумента.
8.3. Вычисление интегралов.
Упражнения.
Глава 9. Локальные свойства голоморфных функций.
9.1. Принцип сохранения области.
9.2. Ветвление.
9.3. Принцип максимума модуля и его следствия.
9.4. Теорема Блоха.
Упражнения.
Глава 10. Конформные отображения. Часть 1.
10.1. Голоморфные функции на подмножествах сферы Римана.
10.2. Принцип симметрии.
10.3. Отображение верхней полуплоскости на прямоугольник.
10.4. Принцип соответствия границ.
10.5. Квазиконформные отображения.
Упражнения.
Глава 11. Бесконечные суммы и произведения.
11.1. Представление котангенса в виде бесконечной суммы.
11.2. Эллиптические функции.
11.3. Бесконечные произведения.
11.4. Теоремы Миттаг-Леффлера и Вейерштрасса.
11.5. Произведения Бляшке.
Упражнения.
Глава 12. Конформные отображения. Часть 2.
12.1. Теорема Римана: план доказательства.
12.2. Теорема Римана об отображении: обоснования.
12.3. Формула Кристоффеля—Шварца.
12.4. Гиперболическая метрика.
Упражнения.
Глава 13. Кое-что о римановых поверхностях.
13.1. Определения, простейшие примеры, общие факты.
13.2. Риманова поверхность алгебраической функции.
13.3. Род; формула Римана—Гурвица.
13.4. Дифференциальные формы и вычеты.
13.5. О теореме существования Римана.
13.6. О поле мероморфных функций.
13.7. О теореме Римана—Роха.
13.8. О теореме Абеля.
Упражнения.
Предметный указатель.
Литература.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Львовский