Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Арнольд В.И., 2000.
В книге изложен ряд основных идей и методов, применяемых для исследования обыкновенных дифференциальных уравнений. Элементарные методы интегрирования рассматриваются с точки зрения общематематических понятий (разрешение особенностей, группы Ли симметрий, диаграммы Ньютона и т.д.). Теория уравнений с частными производными первого порядка изложена на основе геометрии контактной структуры.
В книгу включены классические и современные результаты теории динамических систем: структурная устойчивость, У-системы, аналитические методы локальной теории в окрестности особой точки или периодического решения (нормальные формы Пуанкаре), теория бифуркации фазовых портретов при изменении параметров (мягкое и жесткое возбуждение автоколебаний при потере устойчивости), удвоение периода Фейгенбаума, теорема Дюлака и др.
Книга рассчитана на широкий круг математиков и физиков — от студентов до преподавателей и научных работников.
Дискриминантная кривая.
Определение. Проекция криминанты на плоскость (x, у) параллельно p-направлению называется дискриминантной кривой.
По теореме о неявной функции, окрестность точки криминанты диффеоморфно проектируется на плоскость (x, у) параллельно p-направлению, если криминанта в рассматриваемой точке не касается p-направления.
Замечание. Дискриминантная кривая может в этих условиях все же иметь особенности.
Они происходят от того, что в одну точку дискриминантной кривой могут проектироваться, вообще говоря, несколько точек криминанты. Эти особенности будут, вообще говоря, точками самопересечения дискриминантной кривой. Для «общего уравнения» в окрестности такой точки дискриминантная кривая состоит из двух ветвей, пересекающихся под ненулевым углом.
Точкам же, где криминанта касается p-направления, соответствуют «в общем случае» точки возврата на дискриминантной кривой. Все более сложные особенности дискриминантной кривой, кроме точек самопересечения и возврата, устраняются малым шевелением уравнения. Особенности же этих двух типов сохраняются при малой деформации уравнения лишь немного смещаясь.
Содержание
Предисловие
Некоторые используемые обозначения
Глава 1. Специальные уравнения
§1. Дифференциальные уравнения, инвариантные относительно групп симметрий
§2. Разрешение особенностей дифференциальных уравнений
§3. Уравнения, не разрешенные относительно производных
§4. Нормальная форма уравнения, не разрешенного относительно производной, в окрестности регулярной особой точки
§5. Стационарное уравнение Шредингера
§6. Геометрия дифференциального уравнения второго порядка и геометрия пары полей направлений в трехмерном пространстве
Глава 2. Уравнения с частными производными первого порядка
§7. Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка
§8. Нелинейное уравнение с частными производными первого порядка
§9. Теорема Фробениуса
Глава 3. Структурная устойчивость
§10. Понятие структурной устойчивости
§11. Дифференциальные уравнения на торе
§12. Аналитическое приведение к повороту аналитических диффеоморфизмов окружности
§13. Введение в гиперболическую теорию
§14. У-системы
§15. Структурно устойчивые системы не всюду плотны
Глава 4. Теория возмущений
§16. Метод усреднения
§17. Усреднение в одночастотных системах
§18. Усреднение в многочастотных системах
§19. Усреднение в гамильтоновых системах
§20. Адиабатические инварианты
§21. Усреднение в слоении Зейферта
Глава 5. Нормальные формы
§22. Формальное приведение к линейной нормальной форме
§23. Резонансный случай
§24. Области Пуанкаре и Зигеля
§25. Нормальная форма отображения в окрестности неподвижной точки
§26. Нормальная форма уравнения с периодическими коэффициентами
§27. Нормальная форма окрестности эллиптической кривой
§28. Доказательство теоремы Зигеля
Глава 6. Локальная теория бифуркаций
§29. Семейства и деформации
§30. Матрицы, зависящие от параметров, и особенности декремент-диаграмм
§31. Бифуркации особых точек векторного поля
§32. Версальные деформации фазовых портретов
§33. Потеря устойчивости положения равновесия
§34. Потеря устойчивости автоколебаний
§35. Версальные деформации эквивариантных векторных полей на плоскости
§36. Перестройки топологии при резонансах
§37. Классификация особых точек
Образцы экзаменационных задач.
Купить книгу Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Арнольд В.И., 2000 .
Купить книгу Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Арнольд В.И., 2000 .
Дата публикации:
Теги: учебник по математике :: математика :: Арнольд :: теорема Фробениуса
Смотрите также учебники, книги и учебные материалы:
Следующие учебники и книги:
- Истории давние и недавние, Арнольд В.И., 2002
- Цепные дроби, Арнольд В.И., 2001
- Особенности дифференцируемых отображений, Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов, Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М., 1982
- Современные проблемы математики, Математические аспекты классической и небесной механики, том 3, Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И., 1989
Предыдущие статьи:
- Обыкновенные дифференциальные уравнения, Арнольд, 2000
- Таблица умножения в кроссвордах, тренажер, 2-3 класс, Бережнова Л.Р.
- Учимся решать задачи, 4 класс, Белошистая А., 2011
- Математика, Комплексный тренажер, 3 класс, Барковская Н.Ф., 2011