Элементы общей теории меры и интеграла, Дороговцев А.Я., 1989

Элементы общей теории меры и интеграла, Дороговцев А.Я., 1989.

   Пособие содержит изложение основ общей теории меры и интеграла, а также классических частных случаев — мер и интегралов Лебега и Лебега — Стилтьеса. Книга включает: описание основных классов множеств и свойств мер, теорию продолжения, свойства зарядов, теорию измеримых отображений и функций, теорию интеграла Лебега, в частности свойства интегралов Лебега, зависящих от параметров, общую формулу замены переменной, теорему Радона — Никодима и теорему Фубини. Приведены основные свойства функциональных пространств. Теоретический материал сопровождается упражнениями для самостоятельной работы.
Для студентов математических специальностей вузов и университетов.




ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ МНОЖЕСТВ.
Пусть X — основное множество и H ℂ 2x — некоторый класс множеств. Объектом изучения теории меры являются функции вида µ : Н → (—∞, +∞), удовлетворяющие некоторым специальным требованиям. Реальными примерами таких функций являются длина, площадь, объем, определенные для некоторых классов множеств соответственно на прямой, плоскости, в пространстве. Другого типа пример представляет заряд частей пространства в электрическом поле. Эти реальные примеры приводят к узкому, но важному для математики, классу функций. Например, площадь неотрицательна; площадь фигуры, состоящей из объединения двух непересекающихся частей, равна сумме площадей частей и т. п. Упомянутые выше специальные требования на функции множеств частично состоят в переносе в абстрактную ситуацию свойств реальных функций множеств, а частично связаны с математическими потребностями.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
1. Основные классы множеств.
1.1. Полукольцо и полуалгебра.
1.2. Кольцо и алгебра.
1.3. σ-кольцо и σ-алгебра.
1.4. Монотонный класс.
2. Порожденные классы множеств.
2.1. Минимальные кольцо, алгебра, σ-кольцо, σ-алгебра, монотонный класс, содержащие заданный класс множеств.
2.2. Борелевские множества.
2.3. Монотонный класс и σ-кольцо, порожденные кольцом.
3. Функции множеств. Меры.
3.1. Основные классы функций множеств.
3.2. Меры. Элементарные свойства мер.
3.3. Непрерывность меры.
3.4. Примеры мер.
4. Продолжение меры.
4.1. Продолжение меры с полукольца на порожденное полукольцом кольцо.
4.2. Внешняя мера.
4.3. λ*-измеримые множества. Теорема Каратеодори.
4.4. Полные меры.
4.5. Измеримость множеств исходного кольца.
4.6. Единственность продолжения.
4.7. Теорема о приближении.
4.8. Мера Лебега на прямой.
4.9. Мера Лебега на Rm.
4.10. Мера Лебега — Стилтьеса на прямой.
4.11. Измеримое пространство, пространство с мерой, вероятностное пространство.
5. Заряды.
5.1. Разложение Хана.
5.2. Разложение Жордана.
6. Измеримые отображения и функции.
6.1. Измеримые отображения, примеры.
6.2. Одно условие измеримости.
6.3. Борелевские функции. Функции, измеримые по Лебегу.
6.4. Суперпозиция измеримых отображений.
6.5. Свойства измеримых функций.
6.6. Критерий измеримости в терминах простых функций.
6.7. Эквивалентные функции.
6.8. Сходимость почти всюду.
6.9. Сходимость по мере.
6.10. Вероятностная терминология.
7. Абстрактный интеграл Лебега.
7.1. Определение интеграла.
7.2. Элементарные свойства интеграла Лебега.
7.3. Счетная аддитивность интеграла Лебега.
7.4. Другие свойства интеграла Лебега.
7.5. Теорема об интегрировании монотонной последовательности и аддитивность интеграла.
7.6. Основные предельные теоремы.
7.7. Сравнение интегралов Римана и Лебега на отрезке прямой.
7.8. Критерий интегрируемости функции по Риману.
7.9. Несобственные интегралы и интеграл Лебега.
7.10. Интеграл Лебега — Стилтьеса на прямой.
7.11. Историческая справка.
8. Интегралы Лебега, зависящие от параметра. Формула замены переменной.
8.1. Непрерывная зависимость от параметра.
8.2. Дифференцирование по параметру.
8.3. Формула замены переменной.
9. Абсолютная непрерывность.
9.1. Абсолютная непрерывность и сингулярность.
9.2. Теорема Радона — Никодима.
9.3. Замечание к формуле замены переменных.
10. Интегрирование на произведении пространств.
10.1. Измеримые множества в произведении пространств.
10.2. Измеримые функции на произведении пространств.
10.3. Произведение мер.
10.4. Теорема Фубини.
11. Пространство Lp(X,ℱ,λ).
11.1. Неравенства Гельдера и Минковского.
11.2. Пространство Lp(X,ℱ,λ), р € [1, +∞).
11.3. Полнота пространства Lp(X,ℱ,λ), р€[1, +∞).
11.4. Плотные подмножества Lp(X,ℱ,λ), р€[1, +∞).
Решения и указания.
Приложение.
Список рекомендуемой литературы.
Указатель обозначений.
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Элементы общей теории меры и интеграла, Дороговцев А.Я., 1989 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Дороговцев :: интеграл