Алгебра и теория чисел, Группы, кольца и поля, Ларин С.В., 2022

Алгебра и теория чисел, Группы, кольца и поля, Ларин С.В., 2022.

   Учебное пособие адресовано в первую очередь студентам и аспирантам педагогических вузов математических специальностей и содержит материал по теории групп, колец и полей, излагаемый в рамках дисциплины «Алгебра» («Алгебра и теория чисел»). Вместе с тем изложение имеет целостный, замкнутый характер и может быть использовано всеми желающими для первичного знакомства с основами теории групп, колец и полей. В каждой главе материал расположен в порядке возрастания степени сложности, что способствует вариативному использованию пособия. Большое внимание уделяется примерам, которые предваряют введение новых понятий, на них отрабатывается и закрепляется изученный материал. Вопросы в конце параграфов, как правило, просты и способствуют усвоению основного содержания, а задачи помогают закрепить приложения теории.




Числовые группы.
Числа можно складывать и перемножать, но, говоря о группе, мы каждый раз будем фиксировать свое внимание лишь на одной операции.

Аддитивные числовые группы: (Z, +), (Q, +), (R, +), (С, +); кратко: аддитивные группы целых чисел Z, рациональных чисел Q, действительных чисел К и комплексных чисел С. (2Z, +) — аддитивная группа четных целых чисел; аналогично (mZ, +) — аддитивная группа целых чисел, кратных фиксированному целому неотрицательному числу m. Аддитивная группа целых комплексных (гауссовых) чисел Z + Zi состоит из комплексных чисел вида а + bi, где а и b — целые числа; i — мнимая единица (i2 = -1).

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава 1. Группы.
1.1. Определение группы, примеры и основные свойства групп.
1.1.1. Определение группы, терминология.
1.1.2. Примеры групп.
1.1.3. Основные свойства групп.
1.1.4. Подгруппы.
Контрольные вопросы.
Задачи.
1.2. Порядок элемента группы.
1.2.1. Определение и примеры.
1.2.2. Основные свойства порядков элементов группы.
Контрольные вопросы.
Задачи.
1.3. Циклические группы.
1.3.1. Определение и примеры.
1.3.2. Подгруппы циклических групп.
1.3.3. Порождающие элементы циклической группы.
Контрольные вопросы.
Задачи.
1.4. Смежные классы.
1.4.1. Определение и примеры.
1.4.2. Основные свойства смежных классов.
1.4.3. Теорема Лагранжа и следствия из нее.
Контрольные вопросы.
Задачи.
1.5. Нормальная подгруппа и факторгруппа.
1.5.1. Определение нормальной подгруппы, примеры.
1.5.2. Факторгруппа.
1.5.3. Аддитивная группа классов вычетов.
1.5.4. Мультипликативная группа классов вычетов.
1.5.5. Классы сопряженных элементов.
Контрольные вопросы.
Задачи.
1.6. Изоморфизмы групп.
1.6.1. Определение и примеры.
1.6.2. Основные свойства изоморфизмов групп.
1.6.3. Изоморфизмы циклических групп.
1.6.4. Связь конечных групп с группами подстановок.
Контрольные вопросы.
Задачи.
1.7. Гомоморфизмы групп.
1.7.1. Определение и свойства гомоморфизмов групп. Ядро гомоморфизма.
1.7.2. Теорема о гомоморфизмах.
Контрольные вопросы.
Задачи.
1.8*. Конечные абелевы группы.
1.8.1. Прямое произведение подгрупп.
1.8.2. Разложение циклических групп в прямое произведение своих подгрупп.
1.8.3. Разложение конечной абелевой группы в прямое произведение циклических подгрупп.
Контрольные вопросы.
Задачи.
Глава 2. Кольца и поля.
2.1. Определение и основные свойства колец.
2.1.1. Определение и примеры колец.
2.1.2. Основные свойства колец.
Контрольные вопросы.
Задачи.
2.2. Определение и основные свойства полей.
2.2.1. Определение поля, примеры.
2.2.2. Основные свойства полей.
Контрольные вопросы.
Задачи.
2.3. Подполя, подкольца, идеалы.
Контрольные вопросы.
Задачи.
2.4. Изоморфизмы и гомоморфизмы колец и полей.
Контрольные вопросы.
Задачи.
2.5. Характеристика кольца и поля.
Контрольные вопросы.
Задачи.
Глава 3. Делимость в кольцах.
3.1. Основные понятия теории делимости в области целостности.
3.1.1. Область целостности.
3.1.2. Определение и основные свойства делимости.
3.1.3. Наибольший общий делитель.
Контрольные вопросы.
Задачи.
3.2. Факториальные кольца.
3.2.1. Простые элементы области целостности.
3.2.2. Определение факториального кольца и примеры разложений на простые множители.
3.2.3. Нахождение НОД и НОК в факториальном кольце.
Контрольные вопросы.
Задачи.
3.3. Евклидовы кольца.
3.3.1. Евклидово кольцо и алгоритм Евклида.
3.3.2. Взаимно простые элементы евклидова кольца.
3.3.3. Факториальность евклидова кольца.
Контрольные вопросы.
Задачи.
3.4. Примеры евклидовых колец.
3.4.1. Евклидовость кольца целых чисел.
3.4.2. Евклидовость кольца целых комплексных чисел.
3.4.3. Евклидовость кольца многочленов над полем.
3.4.4. Примеры неевклидовых колец.
Контрольные вопросы.
Задачи.
3.5. Кольца главных идеалов.
3.5.1. Определение и примеры колец главных идеалов.
3.5.2. Существование разложения на простые множители в кольце главных идеалов.
3.5.3. Факториальность кольца главных идеалов.
Контрольные вопросы.
Задачи.
Глава 4. Расширения полей.
4.1. Алгебраический над данным полем элемент и его минимальный многочлен.
4.1.1. Алгебраические и трансцендентные элементы над полем.
4.1.2. Минимальный многочлен алгебраического элемента.
4.1.3. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Контрольные вопросы.
Задачи.
4.2. Степень расширения.
4.2.1. Базис и степень расширения.
4.2.2. Повторное расширение поля.
Контрольные вопросы.
Задачи.
4.3. Простое расширение поля.
4.3.1. Простое алгебраическое расширение поля.
4.3.2. Простое трансцендентное расширение поля.
4.3.3*. Существование простого алгебраического расширения поля и поля разложения данного многочлена.
Контрольные вопросы.
Задачи.
4.4. Составное расширение поля.
4.4.1. Повторное алгебраическое расширение поля.
4.4.2. Составное расширение поля.
Контрольные вопросы.
Задачи.
4.5. Поле алгебраических чисел.
Контрольные вопросы.
Задачи.
4.6. Квадратичные расширения полей.
4.6.1. От геометрии к алгебре.
4.6.2. Неразрешимость некоторых задач на построение циркулем и линейкой.
4.6.3*. Разрешимость уравнений в радикалах.
Контрольные вопросы.
Задачи.
4.7. Конечные поля.
4.7.1. Число элементов конечного поля.
4.7.2*. Мультипликативная группа конечного поля.
Контрольные вопросы.
Задачи.
4.8*. Конечные тела.
4.8.1. Предварительные сведения.
4.8.2. Основная теорема о конечном теле.
4.9*. Алгебры над полями.
4.9.1. Тело кватернионов.
4.9.2. Алгебры с делением конечного ранга над полем действительных чисел.
Контрольные вопросы.
Задачи.
Литература.
Новые издания по дисциплине «Высшая математика» и смежным дисциплинам.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по алгебре :: алгебра :: Ларин