Нелокальные бифуркации, Ильяшенко Ю.С., Ли Вейгу, 2016

Нелокальные бифуркации, Ильяшенко Ю.С., Ли Вейгу, 2016.

   Книга посвящена нелокальным бифуркациям, происходящим на границе множества систем Морса-Смейла. Эти бифуркации, как факелы, освещают переход от простых динамических систем к сложным. При этом возникают: периодические орбиты; гиперболические и частично гиперболические инвариантные множества; странные аттракторы. Все результаты строго доказаны и изложены с единой точки зрения — взаимодействия теории нормальных форм и гиперболической теории. Обе теории, в необходимом объеме, изложены, начиная с основ. Описанные в книге геометрические эффекты сначала объясняются на эвристическом уровне, а затем уже строго доказываются. Часть результатов книги является классической, часть — новой. Большинство из них еще не излагалось в монографиях.
Книга рассчитана на студентов и аспирантов математиков, а также на специалистов в чистой и прикладной математике, физике, инженерии и биологии.




Неблуждающие точки.
Что мы имеем в виду, когда говорим, что некоторая точка в фазовом пространстве векторного поля имеет нетривиальное динамическое поведение? Естественно, точка, которая возвращается через некоторое время в произвольно малую окрестность своего начального положения, доставляет пример такого поведения. Примеры таких точек — особые точки и периодические орбиты. Более сложный пример изображен на рис. 1.1.

С другой стороны, точка может никогда не возвращаться к своему начальному положению, хотя сколь угодно близкие точки ведут себя периодически, как показано на рис. 1.2. Эти соображения мотивируют следующее определение.

Оглавление.
Предисловие к русскому переводу.
Предисловие
Глава 1. Введение.
§1. Структурная устойчивость и системы Морса Смейла.
§2. Эквивалентность и локальные бифуркации в типичных однопараметрических семействах.
§3. Гомоклинические траектории негиперболической особой точки.
§4. Гомоклинические траектории негиперболических циклов
§5. Гомоклинические петли гиперболических неподвижных точек и другие контуры.
§6. Сводка результатов.
Глава 2. Предварительные рассмотрения.
§1. Превалентноеть.
§2. Аттракторы, их размерности и проекции.
§3. Подкова Смейла для старшеклассников.
§4. Некоторые результаты гиперболической теории.
§5. Нормальные формы локальных семейств.
Глава 3. Бифуркации на плоскости.
§1. Бифуркации гомоклинической петли плоского седла.
§2. Гомоклиническая траектория седлоузла.
§3. Седловые связки, возникающие при исчезновении полуустойчивых циклов.
Глава 4. Гомоклинические траектории негиперболических особых точек
§1. Гомоклиническая траектория седлоузла: случай узла по гиперболическим переменным.
§2. Лемма о гиперболичности произведения линейных отображений.
§3. Гомоклиническая траектория седлоузла, седлоузловая по гиперболическим переменным.
§4. Седлоузел с несколькими гомоклиническими орбитами.
§5. Теорема Биркгофа-Смейла.
Глава 5. Гомоклинические торы и бутылки Клейна негиперболических циклов: некритический случай.
§1. Топологическая и гладкая структура объединения гомоклинических орбит.
§2. Сохранение некритических гомоклинических торов и бутылок Клейна.
§3. Число вращения как функция параметра семейства диффеоморфизмов окружности.
§4. Бифуркации некритического гомоклинического тора типичного седлоузлового семейства.
§5. Катастрофа голубого неба на бутылке Клейна.
§6. Обобщенная теорема о существовании подковы Смейла.
§7. Несколько некритических гомоклинических торов или бутылок Клейна негиперболического цикла.
§8. Рождение странного аттрактора при бифуркации перекрученной гомоклинической поверхности.
Глава 6. Гомоклинические торы седло узлового цикла полукритический случай.
§1. Теорема о возникновении странного аттрактора.
§2. Леммы о предельных отображениях, плотности и сокращении объема.
§3. Множество вращения и периодические точки эндоморфизмов окружности.
§4. Гомоклинические орбиты эндоморфизмов окружности.
Глава 7. Бифуркации гомоклинических траекторий гиперболического седла.
§1. Гомоклиническая траектория гиперболического седла с тремя вещественными собственными значениями в R3.
§2. Гомоклиническая траектория гиперболического седла с двумя комплексными собственными значениями в R3.
§3. Гомоклинические орбиты гиперболических седел в пространствах высокой размерности.
Глава 8. Элементы гиперболической теории.
§1. Гиперболические множества и их свойства.
§2. Введение в символическую динамику.
§3. Гиперболическая теорема о неподвижной точке.
§4. Достаточные условия существования подковы Смейла.
§5. Обобщенная подкова Смейла.
Глава 9. Нормальные формы локальных семействf гиперболический случай.
§1. Основные результаты: их вывод из теоремы Белицкого Самовола.
§2. Введение в теорию Фробениуса и гомотопический метод.
§3. Теорема Белицкого Самовола для векторных полей.
§4. Теорема Белицкого Самовола для отображений.
Глава 10. Нормальные формы деформаций седлоузлов.
§1. Теорема Такенса о гладкой надстройке седла.
§2. Деформации седлоузлов.
§3. Теорема Такенса о гладкой надстройке седла для отображений.
§4. Частичная теорема включения для седлоузловых семейств отображений.
Литература.
Добавление (А. Городецкий, Ю. Илmяшенко): некоторые новые грубые свойства инвариантных множеств и аттракторов динамических систем

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Ильяшенко :: Ли Вейгу