Вариационное исчисление и оптимальное управление, выпуск 15, Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н., 2006

Вариационное исчисление и оптимальное управление, Выпуск 15, Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н., 2006.

   Наряду с изложением основ классического вариационного исчисления и элементов теории оптимального управления рассмотрены прямые методы вариационного исчисления и методы преобразования вариационных задач, приводящие, в частности, к двойственным вариационным принципам. Учебник завершают примеры из физики, механики и техники, в которых показана эффективность методов вариационного исчисления и оптимального управления для решения прикладных задач.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов и аспирантов технических университетов, а также для инженеров и научных работников, специализирующихся в области прикладной математики и математического моделирования.




Основные типы задач на условный экстремум.
Рассмотренные ранее задачи характеризовались тем, что их решения должны были удовлетворять некоторым условиям на границе области интегрирования (краевым условиям). Однако во многих важных приложениях вариационного исчисления на решение задачи накладываются некоторые дополнительные условия. В этой связи вспомним задачу Дидоны (см. пример 1.1). Контур (т.е. ремень из бычьей шкуры), которым охватывался участок земли, имел вполне определенную длину. Это значит, что функция, дающая решение задачи Дидоны, должна удовлетворять не только краевым условиям, но и дополнительному условию: длина графика функции фиксирована. Приведем общую формулировку задачи, в которой на допустимые функции накладываются дополнительные условия — так называемые условия связи.

Оглавление.
Предисловие.
Основные обозначения.
ЧАСТЬ I. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
1. Основные понятия.
1.1. Задачи, приводящие к вариационным проблемам.
1.2. Основные определения.
1.3. Основные леммы вариационного исчисления.
1.4. Некоторые замечания о задачах вариационного исчисления.
Вопросы и задачи.
2. Вариационные задачи с фиксированными границами.
2.1. Простейшая задача вариационного исчисления.
2.2. Функционалы от нескольких функций.
2.3. Функционалы с производными высшего порядка.
2.4. Функционалы от функций многих переменных.
2.5. Канонический вид уравнений Эйлера.
Вопросы и задачи.
3. Вариационные задачи с подвижными границами.
3.1. Задача с подвижными концами.
3.2. Задача с подвижными границами.
3.3. Экстремали с угловыми точками.
Вопросы и задачи.
4. Задачи на условный экстремум.
4.1. Основные типы задач на условный экстремум.
4.2. Необходимые условия в задаче Лагранжа.
4.3. Необходимые условия в изопериметрической задаче.
4.4. Некоторые примеры.
4.5. Принцип взаимности в изопериметрических задачах.
4.6. Задача Больца и задача Майера.
Вопросы и задачи.
5. Достаточные условия экстремума.
5.1. Слабый экстремум.
5.2. Условие Якоби.
5.3. Инвариантный интеграл Гильберта.
5.4. Сильный экстремум.
Вопросы и задачи.
ЧАСТЬ II. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ.
6. Вариационные методы в оптимальном управлении.
6.1. Постановка задачи оптимального управления.
6.2. Задача Лагранжа в форме Понтрягина.
6.3. Некоторые задачи с ограничениями в классическом вариационном исчислении.
6.4. Линейные задачи оптимального управления.
6.5. Обсуждение методов вариационного исчисления.
Вопросы и задачи.
7. Принцип максимума.
7.1. Автономная система управления. Формулировка принципа максимума.
7.2. Обсуждение принципа максимума.
7.3. Задача быстродействия.
7.4. Линейная задача оптимального быстродействия.
7.5. Задача синтеза управления.
7.6. Задача с подвижными концами.
7.7. Неавтономные системы.
7.8. Понятие особого управления.
Вопросы и задачи.
8. Метод динамического программирования.
8.1. Принцип оптимальности.
8.2. Уравнение Беллмана.
8.3. Уравнение Беллмана в задаче быстродействия.
8.4. Связь метода динамического программирования с принципом максимума.
Д.8.1. Оптимальная стабилизация.
Вопросы и задачи.
ЧАСТЬ III. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
9. Формулировка вариационных задач.
9.1. Операторное уравнение.
9.2. Вариационное уравнение.
9.3. Примеры построения функционала по вариационному уравнению.
9.4. Исследование выпуклости функционала.
Вопросы и задачи.
10. Методы решения вариационных задач.
10.1. Минимизирующие последовательности.
10.2. Методы приближенного решения вариационных задач.
10.3. Собственные значения симметрического оператора.
10.4. Приближенное решение задачи на собственные значения.
Вопросы и задачи.
11. Двойственные вариационные задачи.
11.1. Альтернативные функционалы.
11.2. Построение альтернативного функционала.
11.3. Оценка погрешности приближенного решения.
Вопросы и задачи.
ЧАСТЬ IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ.
12. Принцип Гамильтона.
13. Колебания струны.
14. Колебания мембраны.
15. Уравнения движения идеальной жидкости.
16. Аэродинамическая задача Ньютона.
17. Вопросы устойчивости конструкций.
18. Вариационные принципы Лагранжа, Рейсснера и Кастильяно.
19. Вариационные принципы термоупругости.
20. Двусторонние оценки в теплопроводности.
Список рекомендуемой литературы.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Ванько :: Ермошина :: Кувыркин