Доказательства из Книги, Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней, Айгнер М., 2017

Доказательства из Книги, Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней, Айгнер М., 2017.
 
   В книге собраны красивые и глубокие теоремы из различных областей теории чисел, геометрии, анализа, комбинаторики, теории графов. Доказательства этих теорем используют неожиданные сочетания разнородных идей. Изложение материала сопровождается большим числом иллюстраций.
Книга предназначена всем, кто увлечен математикой: в первую очередь студентам, аспирантам, а также преподавателям, научным работникам и просто любителям изящных математических рассуждений. Многое в книге доступно школьникам старших классов.




Закон взаимности квадратичных вычетов.
Какая известная математическая теорема доказывалась чаще всего? Конечно, хорошими претендентами являются теорема Пифагора и основная теорема алгебры. Но чемпионом является закон взаимности квадратичных вычетов в теории чисел. В замечательной монографии Франца Леммермейера [5] перечислено не менее 196 доказательств, предложенных до 2000 г. Конечно, многие из них различаются лишь деталями, но перечень разных идей производит глубокое впечатление, как и список их авторов. Карл Фридрих Гаусс предложил в 1801 году первое полное доказательство, к которому потом добавил еще семь. Немного позднее Фердинанд Готтхолд Эйзенштейн предложил еще пять доказательств, а непрерывно обновляющийся список авторов выглядит как «Кто есть Кто в математике».

Ввиду большого числа доказательств вопрос о том, какое из них записано в Книге, не имеет простого ответа. Находится там самое короткое, самое неожиданное, или это доказательство, наиболее пригодное для обобщений на другие и более глубокие законы взаимности? Мы выбрали два доказательства, основанные на третьем и шестом доказательствах Гаусса. Первое из них, возможно, самое простое и приятное, а другое является отправной точкой для фундаментальных результатов в более общих структурах.

Оглавление.
Предисловие редактора перевода.
Предисловие.
Предисловие к четвертому изданию.
Предисловие ко второму русскому изданию.
Теория чисел.
1. Шесть доказательств бесконечности множества простых чисел.
2. Постулат Бертрана.
3. Биномиальные коэффициенты (почти) никогда не являются степенями.
4. Представления чисел в виде сумм двух квадратов.
5. Закон взаимности квадратичных вычетов.
6. Каждое конечное кольцо с делением – поле.
7. Некоторые иррациональные числа.
8. Три раза о π2/6.
Геометрия.
9. Третья проблема Гильберта: разбиения многогранников.
10. Прямые на плоскости и разложения графов.
11. Задача о направлениях.
12. Три применения формулы Эйлера.
13. Теорема Коши о жесткости.
14. Касание симплексов.
15. Каждое большое точечное множество имеет тупой угол.
16. Гипотеза Борсука.
Математический анализ.
17. Множества, функции и гипотеза континуума.
18. Во славу неравенств.
19. Основная теорема алгебры.
20. Один квадрат и нечетное число треугольников.
21. Теорема Пойа о многочленах.
22. О лемме Литтлвуда и Оффорда.
23. Котангенс и прием Герглотца.
24. Задача Бюффона об игле.
Комбинаторика.
25. Принцип Дирихле и двойной счет.
26. Плиточные разбиения прямоугольников.
27. Три знаменитых теоремы о конечных множествах.
28. Тасование карт.
29. Пути на решетке и определители.
30. Формула Кэли для числа деревьев.
31. Тождества и биекции.
32. Дополнения до полных латинских квадратов.
Теория графов.
33. Задача Диница.
34. Задача о пяти красках для плоских графов.
35. Как охранять музей.
36. Теорема Турана о графах.
37. Связь без ошибок.
38. Хроматическое число графов Кнезера.
39. О друзьях и политиках.
40. Вероятность (иногда) упрощает перечисление.
Об иллюстрациях.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Айгнер