Искусство доказательства в математике, Веллеман Д., 2021

Искусство доказательства в математике, Веллеман Д., 2021.

   Чего от вас ждут, когда просят что-то доказать? Что отличает правильное доказательство от неправильного? Эта книга поможет вам узнать ответы и разъяснит основные принципы, используемые при построении доказательств.
В отличие от школьного подхода к доказательствам как к пронумерованному списку утверждений и причин, в настоящем издании используется структурированный подход, характерный для программирования: математические доказательства также строятся путем объединения некоторых базовых структур. Выбор структуры определяется логической формой доказываемого утверждения, поэтому в начале книги рассматривается элементарная логика и читатель знакомится с различными формами математических выражений. Далее обсуждаются отношения, функции, математическая индукция и более сложные математические темы, в частности теория чисел. В конце разделов каждой главы представлен список упражнений, для части которых приводятся решения или подсказки.
Издание адресовано всем, кто интересуется логикой и доказательствами: математикам, специалистам по информатике, философам, лингвистам.




Переменные и множества.
В математических рассуждениях часто необходимо делать утверждения об объектах, представленных буквами, которые называют переменными. Например, если переменная х используется для обозначения числа в некоторой задаче, нас может заинтересовать утверждение «х - простое число». Хотя иногда мы будем использовать одну букву, например Р, для обозначения этого утверждения, в других случаях мы немного изменим это обозначение и напишем Р(х), чтобы подчеркнуть, что это утверждение относится именно к х. Последнее обозначение позволяет говорить о присвоении значения х в утверждении. Например, Р(7) будет представлять утверждение «7 - простое число», а Р(а + b) будет означать «а + b - простое число». Если утверждение содержит более одной переменной, наша сокращенная запись утверждения будет включать список всех задействованных переменных. Например, мы могли бы представить утверждение «р делится на q» в виде D(p, q). В этом случае D(12,4) будет означать «12 делится на 4».

Хотя вы, вероятно, привыкли, что переменные чаще всего используются для обозначения чисел, они могут обозначать что угодно. Например, мы вполне можем позволить нотации М(х) обозначать утверждение «х - мужчина», a W(x) - «х - женщина». В этом случае мы используем переменную х для обозначения человека. Утверждение может даже содержать несколько переменных, которые обозначают разные типы объектов. Например, в утверждении «x имеет y детей» переменная x обозначает человека, а y обозначает число.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
От издательства.
Предисловие к третьему изданию.
Введение.
Глава 1. Пропозициональная логика.
1.1. Дедуктивное мышление и логические связки.
1.2. Таблицы истинности.
1.3. Переменные и множества.
1.4. Операции над множествами.
1.5. Условные и равнозначные связки.
Упражнения.
Глава 2. Кванторная логика.
2.1. Кванторы.
2.2. Эквивалентности, включающие кванторы.
2.3. Другие операции с множествами.
Глава 3. Доказательства.
3.1. Стратегии доказательства.
3.2. Доказательства, связанные с отрицаниями и условиями.
3.3. Доказательства с использованием кванторов.
3.4. Доказательства с использованием конъюнкций и равносильностей.
3.5 Доказательство дизъюнкций.
3.6. Доказательства существования и единственности.
3.7. Более сложные примеры доказательств.
Глава 4. Соответствия.
4.1. Упорядоченные пары и декартовы произведения.
4.2. Соответствия.
4.3. Подробнее о соответствиях.
4.4. Отношения порядка.
4.5. Отношения эквивалентности.
Глава 5. Функции.
5.1. Определение функции.
5.2. Однозначность и сюръективность.
5.3. Инверсия функций.
5.4. Замкнутые множества.
5.5. Образы и прообразы: исследовательский проект.
Глава 6. Математическая индукция.
6.1. Доказательство путем математической индукции.
6.2. Дополнительные примеры.
6.3. Рекурсия.
6.4. Сильная индукция.
6.5. Вновь про замыкания.
Глава 7. Теория чисел.
7.1. Наибольшие общие делители.
7.2. Простые множители.
7.3. Модульная арифметика.
7.4. Теорема Эйлера.
7.5. Криптография с открытым ключом.
Глава 8. Бесконечные множества.
8.1. Равномощные множества.
8.2. Счетные и несчетные множества.
8.3. Теорема Кантора–Шредера–Бернштейна.
Приложение. Решения некоторых упражнений.
Дополнительные материалы.
Краткое изложение методов доказательства.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Веллеман