Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений, Еругин Н.П., 1979

Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений, Еругин Н.П., 1979.

   В монографии рассматриваются вопросы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и вообще анализ и классификация решений дифференциальных уравнений. Здесь читатель найдет и новые методы исследования, н новые задачи, не встречающиеся в литературе.
В третьем издании расширена и использована при исследовании качественных вопросов глава «Теория подвижных особых точек в вещественной области», новая по методам и результатам и имеющая как теоретическое, так и прикладное значение. Шире рассматриваются в новом издании и вопросы качественной теории и методы обнаружения и построения периодических решений в области центра и изолированных периодических решений. Добавлена и новая XIV глава «Фрагменты из элементарной конструктивной теории периодических решений автономной системы дифференциальных уравнений».
Книга рассчитана на математиков, физиков и инженеров-теоретиков. Она будет полезна и студентам старших курсов механико-математических и физических факультетов.




Уравнение Риккати.
у' = p(x) + q(x)y + r(x)y2.
До сих пор мы рассматривали такие конкретные дифференциальные уравнения, общее решение которых находилось при помощи одной или двух квадратур. Такие дифференциальные уравнения (интегрируемые при помощи конечного числа интегралов или других элементарных операций) называются интегрируемыми в квадратурах или в конечном виде. Но таких типов дифференциальных уравнений мало. Даже самые, казалось бы, простые уравнения не интегрируются в конечном виде. И дело не в том, что мы еще не научились интегрировать эти уравнения в конечном виде, а в том, что это для некоторых дифференциальных уравнений вообще принципиально невозможно, т. е. для некоторых дифференциальных уравнений не существует конечного числа таких операций над функциями, входящими в заданное дифференциальное уравнение, при помощи которых можно было бы получить общее решение или решение задачи Коши. Это аналогично тому, как при нахождении корней алгебраического уравнения, например второй степени, с рациональными коэффициентами, мы сталкиваемся с иррациональными числами, которые не выражаются при помощи конечного числа сложений над рациональными числами, а требуют бесконечного числа операций (рядов) для своего выражения. Мы здесь получаем числа иной природы — нерациональные числа. Еще более высоким классом иррациональных чисел являются такие числа, которые не являются корнями полиномов с рациональными коэффициентами.

Уже в анализе при интегрировании элементарных функций сталкиваемся с функциями, которые не выражаются при помощи конечного числа алгебраических операций над элементарными функциями. В этом именно смысле и говорят, что интеграл от данной элементарной функции не берется. Еще более высокий класс трансцендентных функций мы встречаем при нахождении решений дифференциальных уравнений, когда решение не выражается при помощи конечного числа операций алгебраических, дифференцирования и интегрирования над функциями, входящими в заданное дифференциальное уравнение.

Оглавление.
Вместо предисловия.
Глава I. Элементарные методы.
§1. Определения.
§2. Общее, частное и особое решения.
§3. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
§4. Однородные уравнения.
§5. Уравнения, приводящиеся к однородному.
§6. Линейное уравнение.
§7. Уравнение Риккати.
§8. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
§9. Интегрирующий множитель.
§10. Строгое определение общего решения.
§11. Особое решение.
§12. Интеграл.
§13. Уравнения, не разрешенные относительно у'.
§14. Решение в параметрическом виде.
§15. Частные случаи дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно у'.
§16. Расположение интегральных кривых в окрестности границы области D(x, у).
Глава II. Системы дифференциальных уравнений.
§1. Определения.
§2. Интегралы системы.
§3. Уравнение n-го порядка.
§4. Приведение уравнения n-го порядка к системе я уравнений первого порядка и наоборот.
§5. Частные случаи уравнения n-го порядка.
Глава III. Теоремы существования.
§1. Голоморфные функции и мажоранты.
§2. Теорема Коши.
§3. Линейные системы.
§4. Теорема Пикара.
§5. Частные случаи теоремы Пикара.
§6. Область существования решения.
§7. Непрерывная зависимость решений от параметров.
§8. Дифференцируемость по параметру.
§9. Теоремы о существовании решений в максимальной области, зависящей от параметра.
§10. Построение решений во всей области существования.
§11. Существование общего решения.
§12. Устойчивость по Ляпунову. Еще об общем решении.
§13. Существование дифференцируемых полных интегралов.
Глава IV. Линейное уравнение n-го порядка.
§1. Общая, теория линейного уравнения.
§2. Однородное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами.
§3. Примеры.
Глава V. Системы линейных уравнений.
§1. Общая теория однородных систем.
§2. Неоднородная система.
§3. Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами
§4. О матрицах.
§5. Общее исследование системы (3.1).
§6. Матричный метод.
§7. Теорема о преобразовании системы (6.1) в каноническую вещественную систему.
§8. Неоднородные линейные системы с постоянными коэффициентами.
Глава VI. Вопросы устойчивости.
§1. Устойчивость по Ляпунову.
§2. Теорема Ляпунова.
§3. Устойчивость решений линейных систем.
§4. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами.
§5. Второй метод Ляпунова.
Глава VII. Линейные уравнения в частных производных первого порядка Введение.
§1. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных.
§2. Построение решения задачи Коши.
§3. Решение задачи Коши для однородного уравнения с n независимыми переменными.
§4. Неоднородное уравнение.
§5. Задача Коши для неоднородного уравнения.
§6. Общая задача Коши для неоднородного уравнения.
Глава VIII. Метод преобразований и метод особых решений.
§1. Общая теория метода.
§2. Признаки интегрируемости уравнения (1.1) в замкнутой форме.
§3. Метод последовательных преобразований.
§4. Эвристический метод преобразований.
§5. Осуществимость преобразований.
§6. Метод преобразований в системах.
Глава IX. Решения с особыми начальными значениями. Уравнение у'=Р(х, y)/Q(x, у).
Введение.
§1. Уравнение у'=Р(х, y)/Q(x, у).
§2. Уравнение Брио и Буке.
§3. Теорема Пуанкаре.
Глава X. Сравнение решений полного и укороченного дифференциальных уравнений.
§1. О функциональных соотношениях между исчезающими функциями.
§2. Случай, когда y(t) и z(t) — решения дифференциальных уравнений.
§3. Представление решений полного уравнения через измененное укороченное.
§4. Общий метод доказательства существования разложения.
§5. Продолжение §4.
Глава XI. Разнотемные замечания.
§1. О стационарных интегралах.
§2. Интегралы системы (1.1), не зависящие от t.
§3. Построение систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.
§4. О периодических решениях.
§5. Гамильтоновы системы двух уравнений.
§6. Система Гамильтона, варьированная относительно системы (5.22).
§7. Задачи Пуанкаре о периодических решениях.
§8. Метод неподвижных точек.
§9. Принцип кольца.
§10. Предельные циклы и построение решений вблизи предельных циклов.
§11. Уравнение Риккати.
Глава XII. Дифференциальные уравнения с малым параметром.
§1. Сравнение задач с малым параметром.
§2. Замечания о преобразованиях рядов.
§3. Система x=f(x, t, te, е).
§4. Нелинейные уравнения.
§5. Уравнение d2x/dt2+w2(т)х = eх2, τ = te.
§6. Уравнения с малым параметром при старшей производной.
§7. Примеры тихоновских систем.
Глава XIII. Теория подвижных особых точек в вещественной области Введение.
§1. Системы, решения которых существуют в области -∞<t<∞.
§2. Поведение решений при t-∞.
§3. О решениях систем двух дифференциальных уравнений типа Врио и Буке.
§4. Особые случаи системы (3.1).
§5. Подвижные особые точки решений системы двух уравнений.
§6. Случай m1 = 0, т1-mi+2>0.
§7. Построение решений (5.10).
§8. Случай m1>0, т1-n1+2=0.
§9. Случай m1>0, n1-m1+2=0, n2>0, m2-n2+2=0.
§10. Заключительный.
Глава XIV. Фрагменты из элементарной конструктивной теории периодических решений автономной системы дифференциальных уравнений.
§1. Периодические решения вокруг центра (Ляпунов)
§2. Замечания.
§3. Периодические решения вокруг центра (Пуанкаре).
§4. Доказательство существования и построение предельных циклов по методу Каменкова.
§5. Существование и построение изолированных периодических решений уравнения х+х=uР(х, х).
§6. Уравнение Ван дер Поля x+x=u(1-х2)х. Качественная теория.
§7. Конструктивное доказательство существования периодического решения системы (6.1) методом Каменкова (т. е. на основании §4).
§8. Уравнение х+х=uх(1-х2). Построение предельного цикла.
Литература.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений, Еругин Н.П., 1979 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Еругин