Изменчивая природа математического доказательства, Доказать нельзя поверить, Кранц С., 2020

Изменчивая природа математического доказательства, Доказать нельзя поверить, Кранц С., 2020.

   Книга знакомит читателя с тем, как развивалось с течением времени понятие математического доказательства. Некоторые иллюстративные и интересные математические результаты приведены с доказательствами и поясняющими примерами. Рассмотрен вклад в историю доказательства многих великих математиков. Легкий и увлекательный стиль автора делает изложение доступным широкому кругу читателей.
Для преподавателей математики, студентов и всех интересующихся математическими науками.




КАК РАБОТАЕТ МАТЕМАТИК?
Мы все более-менее представляем себе работу мясника, врача или каменщика — мы видели, как эти люди практикуют свое ремесло. Нет сомнений или тайн относительно того, чем они занимаются.

С математиками все не так. Они могут работать без свидетелей и часто предпочитают уединение. Многие математики сидят в своих офисах или дома и неслышно размышляют. У одних есть любимые предметы, которыми они играют или манипулируют. Другие рисуют каракули. У кого-то есть дартс. Например, обладатель филдсовской медали Пол Дж. Коэн (1924-2007) частенько играл в дартс, представляя себе, что кидает дротики в своего брата (против которого его настраивали родители, воспитывая таким образом соревновательность в характере).

У некоторых математиков совершенно непредсказуемые и удивительные способы заниматься своим делом. Математик и физик Ричард Фейнман (1918-1988) любил размышлять о физике в стрип-клубе недалеко от Калтеха. Он бывал там каждый вечер. Когда у стрип-клуба возникли неприятности с законом, единственным уважаемым завсегдатаем (а среди них были доктора, адвокаты и даже священники), который не постеснялся свидетельствовать в пользу клуба, оказался Ричард Фейнман!

Лауреат Нобелевской премии по физике Стивен Вайнберг (р. 1933) работал над своими космологическими теориями во время просмотра телевизионных мыльных опер. Он абсолютно не мог обходиться без «As the World Turns», но у него были и другие любимые сериалы.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Благодарности.
Глава 1. Что такое доказательство и с чем ею едят?.
1.1. Кто такой математик?.
1.2. Понятие доказательства.
1.3. Как работает математик?.
1.4. Основания логики.
1.4.1. Закон исключенного третьего.
1.4.2. Модус понендо поненс и его друзья.
1.5. Из чего же сделано доказательство?.
1.6. Цель доказательства.
1.7. Логические основания математики.
1.8. Платонизм или кантианство.
1.9. Экспериментальная природа математики.
1.10. Роль гипотез.
1.10.1. Прикладная математика.
1.11. Математическая неопределенность.
1.12. Публикация и распространение математики.
1.13. Заключительные размышления.
Глава 2. Античность.
2.1. Евдокс и концепция теоремы.
2.2. Геометр Евклид.
2.2.1. Специалист в теории чисел Евклид.
2.3. Пифагор.
Глава 3. Средние века и акцепт на вычислениях.
3.1. Влияние ислама на математику.
3.2. Развитие алгебры.
3.2.1. Аль-Хорезми и основания алгебры.
3.3. Исследования нуля.
3.4. Идея бесконечности.
Глава 4. Заря нового времени.
4.1. Эйлер и Шубина интуиции.
4.2. Дирихле и эвристический базис строгого доказательства.
4.2.1. Принцип Дирихле.
4.3. Золотая пора девятнадцатого столетия.
Глава 5. Гильберт и двадцатый век.
5.1. Давид Гильберт.
5.2. Биркгофф, Винер и развитие американской математики.
5.3. Л. Э. Я. Брауэр и доказательство от противного.
5.4. Обобщенная теорема о бутерброде.
5.4.1. Классический бутерброд с ветчиной.
5.4.2. Обобщенный бутерброд с ветчиной.
5.5. Суета вокруг доказательств от противного.
5.6. Эррет Бишоп и конструктивный анализ.
5.7. Николя Бурбаки.
5.8. Сриниваса Рамануджан и новый взгляд на доказательство.
5.9. Легенда о Ноле Эрдеше.
5.10. Поклонение Полу Халмошу.
5.11. Путаница и парадоксы.
5.11.1. Парадокс Бертрана.
5.11.2. Парадокс Банаха Тарского.
5.11.3. Задача Монти Холла.
5.11.4. Аксиома выбора.
Глава 6. Испытание четырьмя красками.
6.1. Робкое начало.
Глава 7. Доказательства, построенные компьютером.
7.1. Краткая история вычислителей.
7.2. В чем разница между математикой и компьютерными дисциплинами.
7.3. Доказательство теорем и проверка программ.
7.4. Как компьютер может исследовать набор аксиом для получения утверждений и доказательств новых теорем.
7.5. Как компьютер порождает доказательство нового результата.
Глава 8. Компьютер помотает преподавать и доказывать.
8.1. Программа Geometer’s Sketchpad.
8.2. Системы компьютерной алгебры.
8.3. Численный анализ.
8.4. Компьютерные изображения и визуализация доказательств.
8.5. Коммуникация в мире математики.
Глава 9. Современная математическая жизнь.
9.1. Мир, в котором мы живем.
9.2. Математические институты.
9.3. Математическая коммуникация.
Глава 10. За пределами компьютеров: социология математического доказательства.
10.1. Классификация конечных простых трупп.
10.2. Гипотеза Бибербаха - доказательство Луи де Братка.
10.3. Как By Йи Хсианг реши.! задачу Кеплера об упаковке сфер.
10.4. Программа геометризации Терстона.
10.5. Атака Григория Перельмана на гипотезу Пуанкаре и программу геометризации Тёрстона.
Глава 11. Доказательства, ускользающие из рук.
11.1. Гипотеза Римана.
11.2. Гипотеза Гольдбаха.
11.3. Гипотеза простых близнецов.
11.4. Стивен Вольфрам и Новая наука.
11.5. Бенуа Мандельброт и фракталы.
11.6. Роджер Пенроуз и «Новый ум короля».
11.7. Задача P/NP.
11.7.1. Сложность задачи.
11.7.2. Сравнение полиномиальной и экспоненциальной сложности.
11.7.3. Полиномиальная сложность.
11.7.4. Утверждения, которые можно проверить за полиномиальное время.
11.7.5. Недетерминистские машины Тьюринга.
11.7.6. Основания NP-полноты.
11.7.7. Полиномиальная эквивалентность.
11.7.8. Определение NP-полноты.
11.8. Эндрю Уайлс и Великая теорема Ферма.
11.9. Бесконечно малые.
11.10. Калейдоскоп неправильно понятых доказательств.
11.10.1. Разочарование и непонимание.
Глава 12. Джон Хорган и «Смерть доказательства?».
12.1. Тезис Хоргана.
12.2. Останется ли «доказательство» ключевым знаком математического прогресса?.
Глава 13. На посошок.
13.1. Что важного в доказательствах.
13.2. Почему важно, чтобы понятие доказательства развивалось.
13.3. Что будут называть доказательством через 100 лет?.
Алфавитный список авторов с краткими биографиями.
Список литературы.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Кранц