Геометрия Лобачевского, Атанасян Л.С., 2014

Геометрия Лобачевского, Атанасян Л.С., 2014.

   Излагается геометрия Лобачевского на основе школьной аксиоматики абсолютной геометрии и аксиомы Лобачевского. Первая часть книги посвящена планиметрии Лобачевского, а вторая — стереометрии. В конце каждой главы даются задачи, в конце книги — ответы и указания к ним. Этим книга выгодно отличается от других пособий по геометрии Лобачевского.
Книга может с успехом использоваться студентами и преподавателями и физико-математических факультетов университетов, и педагогических вузов. Она также будет полезна учителям классов с углубленным изучением математики для индивидуальной работы с учениками, интересующимися математикой.




Признаки равенства треугольников.
Понятие треугольника и определения элементов треугольника, известные читателю из курса геометрии средней школы, относятся к абсолютной геометрии, поэтому они являются также понятиями геометрии Лобачевского. Все теоремы и утверждения о треугольниках, которые в школьном курсе геометрии доказываются без помощи аксиомы параллельных прямых, т. е. используя только аксиомы абсолютной геометрии, имеют место также в геометрии Лобачевского. К этим теоремам относятся в первую очередь признаки равенства треугольников, в частности прямоугольных треугольников, и теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

Рассмотрим сначала три теоремы, выражающие основные признаки равенства треугольников. Доказательства этих признаков читатель найдет в учебном пособии [1] в главе II.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Часть I. Планиметрия
Глава 1. Обзор основных фактов абсолютной геометрии на плоскости.
§1. Обзор основных следствий и аксиом групп I—III абсолютной планиметрии.
§2. Треугольники.
§3. Аксиомы непрерывности. Измерение отрезков и углов.
§4. Движения. Осевая и центральная симметрии.
§5. Сонаправленность лучей. Направленная прямая.
Задачи к главе 1.
Глава 2. Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые на плоскости Лобачевского.
§6. Аксиома Лобачевского. Теоремы о сумме углов треугольника и четырехугольника.
§7. Признаки равенства треугольников на плоскости Лобачевского.
§8. Предложения, эквивалентные аксиоме Лобачевского.
§9. Параллельность луча и прямой.
§10. Параллельность направленных прямых.
§11. Параллельность ненаправленных прямых.
§12. Функция Лобачевского.
Задачи к главе 2.
Глава 3. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.
§13. Двупрямоугольник. Четырехугольник Саккери.
§14. Взаимное расположение параллельных прямых.
§15. Расходящиеся прямые.
§16. Заградительные прямые.
§17. Проекция прямой на прямую.
Задачи к главе 3.
Глава 4. Окружность, эквидистанта и орицикл.
§18. Пучки прямых на плоскости Лобачевского и их образы при движении.
§19. Траектории пучков.
§20. Окружность.
§21. Взаимное расположение прямой и окружности и двух окружностей.
§22. Эквидистанта.
§23. Орицикл.
§24. Взаимное расположение прямой и орицикла. Предельная линия.
Задачи к главе 4.
Глава 5. Треугольники, четырехугольники и правильные многоугольники.
§25. Сумма углов треугольника.
§26. Замечательные точки и прямые треугольника.
§27. Взаимное расположение прямых, содержащих высоты треугольника.
§28. Основные виды выпуклых четырехугольников.
§29. Правильные многоугольники.
Задачи к главе 5.
Глава 6. Движения плоскости Лобачевского. Классификация движений.
§30. Движения плоскости. Произведение движений.
§31. Инвариантные точки и инвариантные прямые движения.
§32. Орициклическое движение.
§33. Классификация движений на плоскости Лобачевского.
§34. Группа симметрий циклических линий.
§35. Конгруэнтные отображения прямой на прямую. Движения прямой.
Задачи к главе 6.
Глава 7. Расширенная плоскость. Вырожденные треугольники.
§36. Отображение плоскости Лобачевского на открытый круг.
§37. Образы простейших фигур при отображении.
§38. Несобственные точки плоскости. Расширенная плоскость.
§39. Вырожденные треугольники.
§40. Биссектрисы и высоты вырожденного треугольника.
§41. Движения расширенной плоскости.
Задачи к главе 7.
Глава 8. Дефект и площадь многоугольника на плоскости Лобачевского.
§42. Дефект многоугольника.
§43. Площадь многоугольника. Равносоставленные и равновеликие многоугольники.
§44. Основные теоремы о площадях многоугольников.
§45. Площадь вырожденного треугольника.
Задачи к главе 8.
Часть II. Стереометрия
Глава 1. Обзор основных фактов абсолютной геометрии в пространстве.
§1. Обзор основных следствий из аксиом абсолютной геометрии трехмерного пространства.
§2. Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости.
§3. Перпендикулярность плоскостей.
§4. Движения пространства.
Глава 2. Аксиома Лобачевского. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве Лобачевского.
§5. Аксиома Лобачевского. Параллельность лучей.
§6. Параллельность прямых в пространстве. Взаимное расположение прямых.
§7. Параллельность прямой и плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости.
§8. Параллельность плоскостей.
§9. Взаимное расположение двух плоскостей.
Задачи к главе 2.
Глава 3. Простейшие поверхности в пространстве Лобачевского.
§10. Связки прямых в пространстве и их траектории.
§11. Сфера.
§12. Эквидистантная поверхность.
§13. Орисфера.
Глава 4. Орицикл. Внутренние геометрии орисферы и эквидистантной поверхности.
§14. Длина дуги орицикла.
§15. Концентрические дуги орициклов.
§16. Гиперболические функции.
§17. Трех вершинник. Абсолютная дуга орицикла.
§18. Внутренние геометрии орисферы и эквидистантной поверхности.
Задачи к главе 4.
Глава 5. Гиперболическая тригонометрия и ее приложения.
§19. Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.
§20. Тригонометрические соотношения в произвольном треугольнике.
§21. Аналитическое выражение функции Лобачевского.
§22. Теорема Чевы, свойства биссектрис и медиан треугольника.
Задачи к главе 5.
Глава 6. Непротиворечивость геометрии Лобачевского. Геометрия Лобачевского и реальное пространство.
§23. Интерпретация Кэли—Клейна системы аксиом трехмерной геометрии Лобачевского.
§24. Наложения в интерпретации Кэли—Клейна.
§25. Проверка выполнения аксиом групп III—V в интерпретации Кэли—Клейна.
§26. Открытие геометрии Лобачевского.
§27. Геометрия Лобачевского и реальное пространство Задачи к главе 6.
Приложение 1.
Приложение 2.
Указания и ответы.
Литература.
Предметный указатель.

Купить .

Купить - rtf .





Теги: учебник по геометрии :: геометрия :: Атанасян :: Лобачевский