Дифференциальные уравнений в частных производных, Михайлов В.П., 1976

Дифференциальные уравнений в частных производных, Михайлов В.П., 1976.

   В книге рассматриваются основные краевые задачи для эллиптических и задача Коши и смешанные задачи для гиперболических и параболических уравнений второго порядка. Широко используется понятие обобщенного решения.
Для чтения книги достаточно владеть основами математики в размере программы первых двух курсов механико-математических или физических факультетов университетов или втузов с повышенной математической подготовкой; все необходимые сведения из функционального анализа и теории функциональных пространств, в частности, теоремы вложения Соболева, в книге излагаются.
Книга является расширенным изложением курса лекций, читавшихся автором студентам третьего курса Московского физико-технического института.




ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
В предыдущей главе были введены понятия банахова и гильбертова пространств. Сами эти понятия опираются только на соотношения между элементами: достаточно ввести удовлетворяющие определенным аксиомам операции сложения элементов и умножения их на числа, норму или соответственно скалярное произведение. При этом совершенно не существенна природа элементов этих пространств, и общие утверждения, полученные в предыдущей главе, применимы ко всем пространствам, из каких бы элементов они не состояли. Однако для теории дифференциальных уравнений этих общих свойств не достаточно. При изучении дифференциальных уравнений в частных производных естественно рассматривать функциональные пространства, т. е. пространства, элементами которых являются функции n, в нашем случае вещественных, переменных. В настоящей главе будут введены некоторые функциональные пространства и получены такие утверждения о взаимоотношениях между ними, которые позволят из одних свойств элементов устанавливать другие их свойства.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава I. Введение. Классификация уравнений. Постановка некоторых задач.
§1. Задача Коши. Теорема Ковалевской.
1. Постановка задачи Коши (10). 2. Аналитические функции нескольких переменных (19). 3. Теорема Ковалевской (21).
§2. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
§3. Постановка некоторых задач.
1. Задачи о равновесии и движении мембраны (33). 2. Задача о распространении тепла (38).
Задачи к главе I.
Глава II. Интеграл Лебега и некоторые вопросы функционального анализа.
§1. Интеграл Лебега.
§2. Линейные нормированные пространства. Гильбертово пространство.
§3. Линейные операторы. Компактные множества. Вполне непрерывные операторы.
§4. Линейные уравнения в гильбертовом пространстве.
§5. Самосопряженные вполне непрерывные операторы.
Глава III. Функциональные пространства.
§1. Пространства непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций.
§2. Пространства интегрируемых функций.
§3. Обобщенные производные.
§4. Пространства Hk (Q).
§5. Свойства функций из H1 (Q) и H1 (Q).
§6. Свойства функций из Hk (Q).
§7. Пространства Сг,0 и С2s,s Пространства Hr,0 и Н2s,s.
§8. Примеры операторов в функциональных пространствах.
Задачи к главе III.
Глава IV. Эллиптические уравнения.
§1. Обобщенные решения краевых задач. Задачи на собственные значения.
1. Классические и обобщенные решения краевых задач (170). 2. Существование н единственность обобщенного решения в простейшем случае (173). 3. Собственные функции н собственные значения (175). 4. Вариационные свойства собственных значений и собственных функций (182). 5. Асимптотическое поведение собственных значений первой краевой задачи (188). 6. Разрешимость краевых задач в случае однородных граничных условий (190). 7. Первая краевая задача для общего эллиптического уравнения (193). 8. Обобщенные решении краевых задач с неоднородными граничными условиями (196). 9. Вариационный метод решения краевых задач (204).
§2. Гладкость обобщенных решений. Классические решения.
1. Гладкость обобщенных решений в одномерном случае (209). 2. Внутренняя гладкость обобщенных решений (212). 3. Гладкость обобщенных решений краевых задач (217). 4. Гладкость обобщенных собственных функций (227). 6. О разложениях в ряды по собственным функциям (228), 6. Обобщения (231).
§3. Классические решения уравнений Лапласа и Пуассона.
1. Гармонические функции. Потенциалы (232). 2. Основные свойства гармонических функций (236). 3. О классических решениях задачи Дирихле для уравнения Пуассона (243). 4. Гармонические функции в неограниченных областях (253).
Задачи к главе IV.
Глава V. Гиперболические уравнения.
§1. Свойства решений волнового уравнения. Задача Коши для волнового уравнения.
1. Свойства решений волнового уравнения (266). 2. Задача Коши для волнового уравнения (274).
§2. Смешанные задачи.
1. Единственность решения (283). 2. Существование обобщенного решения (290). 3. Метод Галёркина (298). 4. Гладкость обобщенных решений. Существование решения п. в. и классического решения (303).
§3. Обобщенное решение задачи Коши.
Задачи к главе V.
Глава VI. Параболические уравнения.
§1. Свойства решений уравнения теплопроводности. Задача Коши для уравнения теплопроводности.
1. Свойства решений уравнения теплопроводности (339). 2. Задача Коши для уравнения теплопроводности (347).
§2. Смешанные задачи.
1. Единственность решения (358). 2. Существование обобщенного решения (366). 3. Гладкость обобщенных решений смешанных задач. Существование решения п. в. и классического решения (371).
Задачи к главе VI.
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Дифференциальные уравнений в частных производных, Михайлов В.П., 1976 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Михайлов