Курс математического анализа, часть 2, книга 1, Решетняк Ю.Г., 2000

Курс математического анализа, Часть 2, Книга 1, Решетняк Ю.Г., 2000.
 
   Учебник «Курс математического анализа» в двух частях написан на основе лекционного курса, читавшегося автором в Новосибирском государственном университете, и отражает опыт работы кафедры математического анализа по совершенствованию преподавания этого предмета. Дается оригинальное изложение ряда тем, составляющих традиционное содержание курса. Читатель найдет также изложение отдельных интересных вопросов, примыкающих к основному материалу. Книга 1 части II учебника предназначена для студентов второго курса математических факультетов университетов. Учебник может быть полезен преподавателям математики в университетах и в других высших учебных заведениях, где читается математический анализ.




Критерий предкомпактности. Теоремы Лебега и Бореля.
В этом параграфе устанавливаются некоторые важные свойства компактных множеств в метрических пространствах, описываемые с помощью понятия открытого покрытия компактного множества.

Напомним, что открытым покрытием множества называется всякое семейство открытых множеств, объединение которых содержит в себе данное множество. Открытые покрытия множества возникают, например, если для каждой точки множества указана окрестность этой точки, удовлетворяющая какому-либо данному условию.

Первое свойство выражается теоремой Лебега, которая утверждает, что для всякого открытого покрытия компактного множества любое из множеств покрытия содержит в себе часть покрываемого множества размера, не меньшего некоторой постоянной б > 0.

Другое свойство содержится в теореме Бореля, которая утверждает, что из любого открытого покрытия компактного множества можно извлечь конечное покрытие.

Теорема Бореля, таким образом, утверждает, что в произвольном открытом покрытии компактного множества много лишних элементов. Можно оставить из всего покрытия конечное число составляющих его множеств так, что оставшиеся все равно будут полностью покрывать данное компактное множество.

Оглавление.
От автора.
Предисловие.
Глава 9. Компактные множества и топологические пространства.
§1. Обзор некоторых основных утверждений главы 6 («Курс математического анализа», часть I, книга 2), а также глав 2 и 3 (часть I, книга 1).
1.1. Общие сведения о метрических пространствах.
1.2. Векторные пространства. Норма в векторном пространстве.
1.3. Понятия предела и непрерывности. Сводка определений и основных результатов.
1.4. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах.
1.5. Компактные множества и компактные пространства.
§2. Критерий предкомпактности. Теоремы Лебега и Бореля.
2.1. Понятие вполне ограниченного множества.
2.2. Компактность произведения компактных множеств.
2.3. Теорема Лебега об открытом покрытии.
2.4. Теорема Бореля об открытом покрытии.
§3. Понятие топологического пространства.
3.1. Вспомогательные теоретико-множественные соотношения.
3.2. Определение понятия топологического пространства.
§4. Непрерывные отображения топологических пространств.
4.1. Определение понятий непрерывности и предела для отображений топологических пространств.
4.2. Понятие компактного множества в топологическом пространстве.
Задачи.
Глава 10. Основы гладкого анализа.
§1. Общая теорема о разрешимости уравнений.
1.1. Принцип сжимающих отображений.
1.2. Абстрактная теорема об обратной функции.
§2. Теорема об обратной функции.
2.1. Теорема о локальной обратимости гладкого отображения.
2.2. Дифференциальные свойства обратного отображения.
2.3. Понятие о произвольной системе координат в пространстве Rn.
§3. Следствия теоремы об обратной функции.
3.1. Теорема о неявных функциях.
3.2. Первая теорема о выпрямляющем диффеоморфизме.
3.3. Вторая теорема о выпрямляющем диффеоморфизме.
3.4. Теорема о ранге.
3.5. Понятия функционально зависимых и независимых систем функций.
§4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Rn.
4.1. Понятие k-мерного подмногообразия пространства Rn.
4.2. Понятие касательной плоскости в точке многообразия.
4.3. Строение множества решений системы уравнений с условием невырожденности.
4.4. Множества, определяемые системой уравнений и одним неравенством.
4.5. Примеры подмногообразий пространства Rn.
§5. Условные экстремумы.
5.1. Необходимые условия условного экстремума. Метод множителей Лагранжа.
5.2. Распознавание точек условного экстремума.
5.3. Приложения к задаче о собственных значениях симметрической матрицы.
§6. Теорема Морса.
6.1. Предварительные сведения о матрицах.
6.2. Доказательство теоремы Морса.
§7. Вычисление частных производных функций, заданных неявно. Примеры.
7.1. О вычислении производных функций, заданных неявно.
7.2. Примеры качественных особенностей множества решений системы уравнений.
Задачи.
Глава 11. Теория рядов.
§1. Определения. Общие сведения о рядах.
1.1. Определение и простейшие свойства сходящихся рядов.
1.2. Примеры сходящихся и расходящихся рядов.
1.3. Признак Коши — Больцано сходимости ряда.
1.4. Свойство ассоциативности суммы ряда.
§2. Признаки сходимости рядов.
2.1. Условия сходимости ряда с неотрицательными членами.
2.2. Теоремы сравнения для распознавания сходящихся и расходящихся рядов.
2.3. Признаки Коши — Адамара и Даламбера сходимости и расходимости ряда.
2.4. Интегральный признак Коши сходимости и расходимости ряда.
2.5. Признак Раабе сходимости ряда.
§3. Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда.
3.1. Тождество Абеля. Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда.
3.2. Пример на приложение признака Дирихле сходимости ряда.
§4. Сумма значений функций на произвольном бесконечном множестве.
4.1. Определение суммы значений на произвольном бесконечном множестве и ее свойства.
4.2. Критерий суммируемости функции по произвольному множеству.
4.3. Суммирование вещественных функций.
4.4. Суммируемость функций и понятие коммутативно сходящегося ряда.
4.5. Теорема об ассоциативности суммирования (теорема о суммировании пачками).
4.6. Кратные ряды.
§5. Бесконечные произведения.
5.1. Определение бесконечного произведения.
5.2. Признаки сходимости и расходимости бесконечного произведения.
5.3. Формула Валлиса.
§6. Цепные дроби.
6.1. Определение и простейшие свойства цепных дробей.
6.2. Признак Зейделя сходимости цепной дроби.
6.3. Примеры цепных дробей.
Задачи.
Глава 12. Функциональные ряды и интегралы, зависящие от параметра.
§1. Понятие равномерной сходимости для семейства функций.
1.1. Равномерная норма функции. Пространство L(M).
1.2. Определение и простейшие свойства равномерно сходящегося семейства функций.
1.3. Критерий Коши — Больцано равномерной сходимости.
1.4. Теорема о равенстве повторных пределов.
1.5. Следствия теоремы о повторных пределах. Пространство  Е(М).
1.6. Теорема Дини.
1.7. Теорема о произведении рядов.,.
§2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды.
2.1. Понятие равномерно сходящегося ряда.
2.2. Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости функционального ряда.
2.3. Теоремы об интегрировании функциональных рядов и последовательностей.
2.4. О дифференцируемости предела функциональной последовательности и суммы функционального ряда.
§3. Степенные ряды.
3.1. Первая теорема Абеля для степенных рядов (теорема Абеля о радиусе сходимости степенного ряда).
3.2. Разложения в степенные ряды элементарных функций.
3.3. Вторая теорема Абеля для степенных рядов.
3.4. Функциональные свойства суммы степенного ряда.
§4. Критерии интегрируемости функции в замкнутом промежутке.
4.1. Признак Коши — Больцано сходимости интеграла.
4.2. Признаки сравнения сходимости и расходимости интеграла.
4.3. Признак Дирихле сходимости интеграла.
§5. Функции, представимые интегралами, зависящими от параметра.
5.1. Достаточное условие непрерывности функции, представимой интегралом, зависящим от параметра.
5.2. Теоремы о дифференцировании и интегрировании функций, представимых интегралами.
5.3. Теоремы о дифференцировании и интегрировании функций, представимых несобственными интегралами.
5.4. Теорема о монотонной последовательности интегрируемых функций.
5.5. Эйлеровы интегралы.
§6. Метод Лапласа построения асимптотических представлений. Формула Стирлинга.
6.1. Основная теорема об асимптотической оценке интеграла
6.2. Формула Стирлинга для приближенного вычисления Г(х + 1)-функции при больших значениях аргумента.
§7. Теоремы о приближении функций полиномами.
7.1. Теорема Стоуна — Вейерштрасса о приближении функций.
7.2. Приложения теоремы Стоуна — Вейерштрасса.
Задачи.
Указатель обозначений.
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Курс математического анализа, часть 2, книга 1, Решетняк Ю.Г., 2000 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать файл № 1 - pdf
Скачать файл № 2 - djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.

Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Решетняк