Мир математики, Сон разума, математическая логика и ее парадоксы, том 22, Хавьер Фресан, 2014

Мир математики, Сон разума, Математическая логика и ее парадоксы, Том 22, Хавьер Фресан, 2014.

   На пути своего развития математика периодически переживает переломные моменты, и эти кризисы всякий раз вынуждают мыслителей открывать все новые и новые горизонты. Стремление ко все большей степени абстракции и повышению строгости математических рассуждений неминуемо привело к размышлениям об основах самой математики и логических законах, на которые она опирается. Однако именно в логике, как известно еще со времен Зенона Элейского, таятся парадоксы — неразрешимые на первый (и даже на второй) взгляд утверждения, которые, с одной стороны, грозят разрушить многие стройные теории, а с другой — дают толчок их новому осмыслению.
Имена Давида Гильберта, Бертрана Рассела, Курта Гёделя, Алана Тьюринга ассоциируются именно с рождением совершенно новых точек зрения на, казалось бы, хорошо изученные явления. Так давайте же повторим удивительный путь, которым прошли эти ученые, выстраивая новый фундамент математики.




Аксиомы арифметики.
В свете всего вышесказанного для определения арифметики нужно прежде всего найти ее аксиомы. В конце XIX века эти поиски занимали умы многих ученых, поскольку в первой половине столетия их мечтой было описать окружающий мир, а во второй — точно определить, что же такое натуральные числа. А уже на основе этих чисел нетрудно найти определение для других видов чисел, например отрицательных или дробных: так, число —1 получается добавлением знака «минус» к натуральному числу 1 и используется, когда мы хотим указать на различие между двумя направлениями, например на шкале термометра или при движении средств на банковском счете. В свою очередь, 2/3 получается делением 2 на 3 и используется, когда одно число нельзя нацело разделить на другое. Но как определить числа, не определяемые на основе других?

Ученые давали различные ответы на этот вопрос. Георг Кантор (1843—1918) предложил определять натуральные числа как числа, описывающие количество элементов множества, однако, как вы увидите в следующей главе, это «лекарство» только ухудшило положение «больного». Неудача Кантора, несомненно, обрадовала его заклятого врага Леопольда Кронекера (1823—1891), для которого вопрос об описании натуральных чисел был закрыт с формулировкой: «Бог создал натуральные числа. Вес остальное — работа человека». Джузеппе Пеано (1858—1932) был не настолько экзальтированным и предложил новую точку зрения, которую впервые представил в 1889 году в книге под названием «Начала арифметики, изложенные новым методом». До настоящего момента, рассуждал Пеано, предпринимались попытки сначала определить натуральные числа, а затем найти аксиомы, на основе которых можно было бы доказать теоремы. Почему бы не поступить наоборот? Сначала можно составить перечень аксиом, затем определить числа как объекты, удовлетворяющие им, и, возможно, в числе этих объектов будут не только привычные нам числа.

Содержание.
Предисловие.
Глава 1. Аксиоматический метод.
От неевклидовой геометрии — к теории относительности.
Новые системы аксиом.
Аксиомы арифметики.
Чего мы ожидаем от аксиом.
Глава 2. Парадоксы.
Теория множеств.
Парадокс Рассела.
Парадокс лжеца.
Глава 3. Программа Гильберта.
Формализм Гильберта.
От языка — к метаязыку.
Глава 4. Теоремы Гёделя.
Теоремы о неполноте.
Гёделевская нумерация.
Доказательство теорем о неполноте.
О чем не говорится в теоремах.
Глава 5. Машины Тьюринга.
Думать как машина.
Вычислимые функции.
Проблема остановки.
Глава 6. Хорошо кончается то, что не кончается.
Нечеткая логика.
Сложность.
Гёдель, Тьюринг и искусственный интеллект.
Библиография.
Алфавитный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Мир математики, Сон разума, математическая логика и ее парадоксы, том 22, Хавьер Фресан, 2014 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Хавьер Фресан