Компактный курс математического анализа, часть 2, Дифференциальное исчисление функций многих переменных, Шведов И.А., 2003

Признак Абеля—Дирихле равномерной суммируемости.
Если на множестве X последовательность вещественных функций ип(х), убывая, равномерно стремится к нулю, а частичные суммы ряда функций vn(x) равномерно ограничены, то ряд un(x)vn(x) равномерно суммируем на множестве X. (Подсказ: вспомните неравенство Абеля.)

Теорема Дини. Если последовательность непрерывных вещественных функций на компактном пространстве К, возрастая, поточечно сходится к непрерывной функции, то сходится она равномерно на К.

Оглавление
Предисловие
Глава 7. МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
§7.1. Метрические и нормированные пространства
Расстояния. Метрические пространства; подпространства. Произведение метрических пространств. Норма; примеры; неравенства Гельдера и Минковского. Нормированные векторные пространства. Расстояние, индуцированное нормой. Произведение нормированных пространств.
§7.2. Основы анализа взаимного расположения (Analysis Situs)
Окрестности точек; свойства системы окрестностей. Открытые множества; свойства системы открытых множеств. Точки прикосновения множества; замкнутые множества; топологический критерий замкнутости; свойства системы замкнутых множеств. Лемма об открытых (замкнутых) частях подпространства. Плотные подмножества. Внутренние и граничные точки подмножества. Диаметр множества. Ограниченные множества.
§7.3. Предел
Секвенциальный критерий замкнутости. Последовательности Коши; полные метрические пространства. Банаховы пространства. Полные подпространства пространства Rn. Суммирование рядов в банаховых пространствах. Общее понятие предела функции. Метрический критерий сходимости.
§7.4. Непрерывные отображения
Непрерывность отображения в точке; топологический, метрический и координатный критерии непрерывности. Теорема о непрерывности композиции. Операции над непрерывными функциями. Критерий глобальной непрерывности. Множества, определяемые системами уравнений и неравенств. Равномерно непрерывные отображения. Теорема о неподвижной точке сжимающего отображения. Топологические изоморфизмы (гомеоморфизмы). Линейно связные пространства. Компоненты линейной связности группы GL(n); критерий соориентированности базисов. Информация: теоремы Александера—Понтрягина, Жордана Брауэра и о вложении области.
§7.5. Компактность
Теорема Бореля—Лебега; компактные пространства. Взаимосвязь свойств компактности, ограниченности и замкнутости. Теорема Вейерштрасса об экстремумах. Непрерывные образы компактов. Теорема о непрерывной биекции компакта, Теорема Гейне о равномерной непрерывности. Секвенциальный критерий компактности. Произведение компактных пространств. Компактные множества в Rn. Эквивалентность норм в Rn.
Глава 8. ОСНОВЫ МНОГОМЕРНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§8.1. Частные производные
Производная по вектору; частные производные; матрица Якоби. Принцип фиксации переменных. Необходимое условие локального экстремума. Лемма о степенной оценке приращения. Пример разрывной функции, дифференцируемой по каждому вектору.
§8.2. Дифференциал
Дифференцируемые функции; дифференциал. Непрерывность дифференцируемой функции. Формула для производной по вектору. Координатное представление дифференциала. Достаточный признак дифференцируемости. Правила дифференцирования. Градиент вещественной функции; его геометрические свойства. Потенциальные векторные поля; потенциал.
§8.3. Правила многократного дифференцирования
Высшие производные. Многократно дифференцируемые отображения; их свойства. Теорема о вторых производных; "контрпример". Мультииндексный формализм; запись высших производных. Правило дифференцирования монома. Критерий совпадения полиномов. Формула возведения суммы в степень. Линейные дифференциальные операторы; композиционное правило для операторов с постоянными коэффициентами. Высшие дифференциалы; их координатное представление. Гессиан вещественной функции; его координатное представление.
§8.4. Разложение Тейлора
Теорема о разложении Тейлора. Полином и ряд Тейлора, Интегральная форма остатка разложения Тейлора; лагранжева оценка остатка. Порядок касания функций в точке. Полиномиальные разложения суммы, произведения и композиции. Достаточное условие локального экстремума. Курьезы.
Глава 9. ОСНОВЫ ГЛАДКОГО АНАЛИЗА
§9.1. Отображения класса Сr
Отображения класса Сr; их свойства. Лемма о классе гладкости обратного отображения. Сr-изоморфизмы и Сr-вложения; примеры теорем о вложении. Лемма о липшицевом вложении области. Теорема о локальной обратимости (об обратной функции). Теорема о гладком вложении области. Криволинейные системы координат (карты); примеры. Лемма о локальном наложении. Достаточное условие функциональной независимости системы функций. Теорема о неявной функции.
§9.2. Многообразия в Rn
Многообразия; их крайние точки. Леммы об открытых частях многообразия, об изоморфизме многообразий, о крае полупространства. Теорема о крае многообразия. Строение множества регулярных решений гладкой системы уравнений и неравенств. Лемма о локальном вложении.
§9.3. Касательное пространство
Касательные векторы (кинематическое определение). Касательное пространство и контингенция; их свойства. Действие гладкого отображения на касательные векторы. Строение касательного пространства гладкого многообразия. Составление уравнений касательной и контингенции. Векторы, ортогональные к подмножеству; ортогональ. Теорема о градиентах. Геометрический вариант леммы Ферма. Метод множителей Лагранжа поиска условного экстремума. Приложения к анализу в пространстве матриц: det; группы SL(n) и SO(n) — гладкие многообразия; элементы группы SL(n), ближайшие к пулевой матрице.
Глава 10. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
§10.1. Признаки равномерной сходимости
Равномерная сходимость последовательностей и рядов функций. Критерий Коши равномерной сходимости. Супремумнорма. Признаки Вейерштрасса и Абеля — Дирихле равномерной суммируемости ряда. Теорема Дини.
§10.2. Предельный переход и основные понятия анализа
Теорема о пределе пределов. Равномерный предел и непрерывность. Теорема об интеграле равномерного предела. Теоремы о пределе производных и о сумме ряда производных.
§10.3. Приложения
10.3.1.    Степенные ряды
Теорема Абеля. Радиус и круг сходимости степенного ряда. Теорема о сходимости степенных рядов. Теорема о сумме степенного ряда.
10.3.2.    Ряды Фурье
Лемма о базисах фурье. Коэффициенты Фурье интегрируемой функции. Функции класса Фурье; лемма о точках разрыва. Формула Дирихле. Теорема Фурье. Теоремы Вейерштрасса о тригонометрической и полиномиальной аппроксимации. Равенство Парсеваля. Изопериметрическое неравенство.
Список имен
Библиографический список.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Компактный курс математического анализа, часть 2, Дифференциальное исчисление функций многих переменных, Шведов И.А., 2003 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать книгу Компактный курс математического анализа, Часть 2, Дифференциальное исчисление функций многих переменных, Шведов И.А., 2003 - pdf - depositfiles.

Скачать книгу Компактный курс математического анализа, Часть 2, Дифференциальное исчисление функций многих переменных, Шведов И.А., 2003 - pdf - Яндекс.Диск.