Введение в теорию матриц, Беллман Р.

МАКСИМИЗАЦИЯ И МИНИМИЗАЦИЯ.
Цель этой вводной главы состоит в том, чтобы указать на естественную связь, существующую между проблемой определения области значений однородной квадратичной функции и нахождением максимума или минимума произвольной функции двух переменных.

Мы исследуем проблему экстремальных значений квадратичной функции двух переменных (квадратичной формы двух переменных) весьма подробно. Для этого имеется ряд важных причин. Прежде всего мы демонстрируем три различных метода исследования: алгебраический, аналитический и геометрический. Каждый из этих методов при соответствующем истолковании может быть обобщен на многомерный случай, который мы будем рассматривать впоследствии, С методической точки зрения еще более важным является то, что алгебраические и аналитические осложнения, возникающие при исследовании двумерного случая, становятся трудно преодолимыми в N-мерном варианте задачи. Это обстоятельство выявляет острую потребность в новых обозначениях.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода
Предисловие автора к русскому изданию
Предисловие автора к английскому изданию
Глава 1. Максимизация и минимизация. Обоснование
§ 1. Введение (21).
§ 2. Максимизация функции одной переменной (21).
§ 3. Максимизация функции двух переменных (22).
§ 4. Алгебраический подход (23).
§ 5. Аналитический подход - I (25).
§ 6. Аналитический подход - II (26).
§ 7. Упрощающее преобразование (28).
§ 8. Другое необходимое и достаточное условие (29).
§ 9. Определенные и неопределенные формы (30).
§ 10. Геометрический подход (30).
§ 11. Обсуждение (32).
Глава 2. Векторы и матрицы
§ 1. Введение (34).
§ 2. Векторы (34).
§ 3. Сложение векторов (35).
§ 4. Умножение вектора на скаляр (36).
§ 5. Скалярное произведение двух векторов (36).
§ 6. Ортогональность (37).
§ 7. Матрицы (38).
§ 8. Умножение вектора на матрицу (39).
§ 9. Умножение матрицы на матрицу (40).
§ 10. Некоммутативность (42).
§ 11. Ассоциативность (43).
§ 12. Инвариантные векторы (44).
§ 13. Квадратичная форма как скалярное произведение (45).
§ 14. Транспонированная матрица (45).
§ 15. Симметрические матрицы (46).
§ 16. Эрмитовы матрицы (47).
§ 17. Ортогональные матрицы. Инвариантность расстояний (48).
§ 18. Унитарные матрицы (49).
Глава 3. Диагонализация и канонические формы симметрических матриц
§ 1. Резюме (56).
§ 2. Решение системы линейных однородных уравнений (56).
§ 3. Собственные векторы и собственные значения (58).
§ 4. Два фундаментальных свойства симметрических матриц (59).
§ 5. Приведение к диагональной форме. Различные собственные значения (61).
§ 6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду (63).
§ 7. Положительно определенные квадратичные формы и матрицы (65).
Глава 4. Приведение симметрических матриц к диагональной форме в общем случае
§ 1. Введение (68).
§ 2. Линейная зависимость (68).
§ 3. Ортогонализация Грама-мидта (68).
§ 4. Положительность определителей Грама Dk (72).
§ 5. Одно тождество (73).
§ 6. Диагонализация симметрической матрицы второго порядка (75).
§ 7. N-мерный случай (77).
§ 8. Необходимое и достаточное условие положительной определенности (80).
§ 9. Собственные векторы, соответствующие кратным собственным значениям (80).
§ 10. Теорема Гамильтона-Кэли для симметрических матриц (81).
§ 11. Одновременное приведение к диагональной форме (81).
§ 12. Одновременное приведение к сумме квадратов (84).
§ 13. Эрмитовы матрицы (85).
§ 14. Исходная проблема максимизации (85).
§ 15. Теория возмущений - I (86).
§ 16. Теория возмущений - II (87).
Глава 5. Условные экстремумы
§ 1. Введение (99).
§ 2. Детерминантный критерий положительной определенности (критерий Сильвестра) (99).
§ 3. Представление в виде суммы квадратов (102).
§ 4. Связанные вариации и теорема Финслера (102).
§ 5. Случай к = 1 (104).
§ 6. Задача о минимизации (107).
§ 7. Общий случай (109).
§ 8. Прямоугольные матрицы (109).
§ 9. Клеточные матрицы (111).
§ 10. Решение задачи в общем случае (112).
Глава 6. Функции от матрицы
§ 1. Введение (117).
§ 2. Функции от симметрической матрицы (117).
§ 3. Обратная матрица (118).
§ 4. Единственность обратной матрицы (118).
§ 5. Квадратные корни (121).
§ 6. Параметрическое представление (122).
§ 7. Результат Шура (122).
§ 8. Основные скалярные функции (123).
§ 9. Несобственный интеграл (125).
§ 10. Аналог для эрмитовых матриц (127).
§ 11. Связь (128).
Глава 7. Вариационное описание характеристических чисел
§ 1. Введение (140).
§ 2. Отношение Релея (140).
§ 3. Вариационные свойства характеристических чисел (141).
§ 4. Обсуждение (142).
§ 5. Геометрические предпосылки (143).
§ 6. Теорема Куранта - Фишера о минимаксном представлении характеристических чисел (143).
§ 7. Монотонное поведение (146).
§ 8. Теорема отделения Штурма (146).
§ 9. Необходимое и достаточное условие положительной определенности матрицы (147).
§ 10. Теорема отделения Пуанкаре (147).
§ 11. Теорема о представлении (148).
§ 12. Приближенные методы (149).
Глава 8. Неравенства
§ 1. Введение (155).
§ 2. Неравенство Коши-Шварца (155).
§ 3. Интегральный вариант (156).
§ 4. Неравенство Гёльдера (156).
§ 5. Вогнутость (158).
§ 6. Одно полезное неравенство (158).
§ 7. Неравенство Адамара (159).
§ 8. Вогнутость произведения (160).
§ 9. Аддитивные неравенства, вытекающие из мультипликативных (161).
§ 10. Другой путь (162).
§ 11. Более простое выражение (163).
§ 12. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (164).
§ 13. Мультипликативные неравенства, вытекающие из аддитивных (165).
Глава 9. Динамическое программирование
§ 1. Введение (173).
§ 2. Задача наименьшего отклонения (173).
§ 3. Функциональное уравнение (174).
§ 4. Рекуррентные соотношения (175).
§ 5. Более сложный пример (175).
§ 6. Проблема Штурма-Лиувилля (176).
§ 7, Функциональные уравнения (178).
§ 8. Матрицы Якоби (179).
§ 9. Аналитическое продолжение (180).
§ 10. Несимметрические матрицы (181).
§ 11. Случай комплексной матрицы А (182).
§ 12. Слабо связанные системы (183).
§ 13. Упрощения - I (184).
§ 14. Упрощения - II (184).
§ 15. Уравнение Ах=у (185).
§ 16. Квадратичное уклонение (186).
§ 17. Результат Стилтьеса(188).
Глава 10. Матрицы и дифференциальные уравнения
§ 1. Обоснование (193).
§ 2. Векторно-матричные обозначения (194).
§ 3. Нормы векторов и матриц (196).
§ 4. Бесконечные ряды векторов и матриц (197).
§ 5. Существование и единственность решений линейной системы уравнений (197).
§ 6. Матричная экспонента (200).
§ 7. Функциональные уравнения - I (201).
§ 8. Функциональные уравнения - II (201).
§ 9. Функциональные уравнения - III (202).
§ 10. Невырожденность решения (202).
§ 11. Решение неоднородного уравнения. Постоянные коэффициенты (204).
§ 12. Неоднородное уравнение. Переменные коэффициенты (204).
§ 13. Неоднородное уравнение. Сопряженная система (205).
§ 14. Теория возмущений (206).
§ 15. Неотрицательность решения (207).
§ 16. Функциональное уравнение Пойа (208).
§ 17. Уравнение
§ 18. Уравнение АХ+ХВ=С (212).
Глава 11. Явные решения и канонические формы матриц
§ 1. Введение (219).
§ 2. Метод Эйлера (219).
§ 3. Построение решения (220).
§ 4. Невырожденность матрицы С (221).
§ 5. Другой метод (221).
§ 6. Определитель Вандермонда (222).
§ 7. Явная форма решения линейного дифференциального уравнения. Диагональные матрицы (223).
§ 8. Диагонализация матрицы (224).
§ 9. Связь между двумя подходами (225).
§ 10. Кратные характеристические числа (226).
§ 11. Каноническая форма Жордана (227).
§ 12. Кратные характеристические числа (другой метод) (228).
§ 13. Треугольная форма матрицы. Теорема Шура (231).
§ 14. Нормальные матрицы (233).
§ 15. Теорема об аппроксимации (235).
§ 16. Другая теорема об аппроксимации (236).
§ 17. Теорема Гамильтона - Кэли (237).
§ 18. Другое доказательство теоремы Гамильтона - Кэли (237).
§ 19. Линейные уравнения с периодическими коэффициентами (238).
§ 20. Представление невырожденной матрицы в виде экспоненты (239).
§ 21. Другое доказательство (241).
§ 22. Некоторые интересные преобразования (242).
§ 23. Биортогональность (243).
§ 24. Преобразование Лапласа (245).
§ 25. Пример (246).
§ 26. Обсуждение результата (247).
§ 27. Матричный случай (248).
Глава 12. Симметрические функции, кронекеровские произведения и циркулянты
§ 1. Введение (260).
§ 2. Степени собственных значений (260).
§ 3. Полиномы и характеристические уравнения (262).
§ 4. Симметрические функции (262).
§ 5. Кронекеровские произведения (264).
§ 6. Алгебра кронекеровских произведений (265).
§ 7. Кронекеровские степени - I (265).
§ 8. Кронекеровские степени - II (265).
§ 9. Кронекеровские степени - III (266).
§ 10. Кронекеровский логарифм (267).
§ 11. Кронекеровская сумма - I (267).
§ 12. Кронекеровская сумма -II (268).
§ 13. Уравнение АХ+ХВ=С (268).
§ 14. Другое доказательство (270).
§ 15. Циркулянты (272).
Глава 13. Теория устойчивости
§ 1. Введение (278).
§ 2. Необходимые и достаточные условия устойчивости (279).
§ 3. Устойчивые матрицы (280).
§ 4. Метод Ляпунова (280).
§ 5. Среднеквадратичное отклонение (282).
§ 6. Некоторые эффективные критерии устойчивости (282).
§ 7. Необходимое и достаточное условие устойчивости матриц (234).
§ 8. Дифференциальные уравнения и собственные значения (284).
§ 9. Эффективные условия устойчивости матриц (287).
Глава 14. Марковские матрицы и теория вероятностей
§ 1. Введение (292).
§ 2. Простой стохастический процесс (292).
§ 3. Марковские матрицы и вероятностные векторы (294).
§ 4. Аналитическое описание дискретных марковских процессов (295).
§ 5. Асимптотическое поведение (295).
§ 6. Первое доказательство (296).
§ 7. Второе доказательство независимости от начального состояния (298).
§ 8. Некоторые свойства положительных марковских матриц (298).
§ 9. Второе доказательство сходимости (300).
§ 10. Марковские матрицы общего вида (301).
§ 11. Непрерывный стохастический процесс (303).
§ 12. Доказательство вероятностных свойств (304).
§ 13. Обобщенные вероятности: унитарные преобразования (305).
§ 14. Обобщенные вероятности: матричные преобразования (306).
Глава 15. Случайные матрицы
§ 1. Введение (312).
§ 2. Предельное поведение физических систем (312).
§ 3. Средние значения (313).
§ 4. Средние значения квадратов (314).
Глава 16. Положительные матрицы, теорема Перрона и математическая экономика
§ 1. Введение (317).
§ 2. Некоторые процессы простого роста (317).
§ 3. Обозначения и определения (318).
§ 4. Теорема Перрона (319).
§ 5. Доказательство теоремы 1 (319).
§ 6. Второе доказательство простоты Х(А) (321).
§ 7. Доказательство свойства минимальности Х(А) (322).
§ 8. Эквивалентное определение Х(А) (323).
§ 9. Предельная теорема (323).
§ 10. Стационарный рост (323).
§ 11. Непрерывные процессы роста (324).
§ 12. Аналог теоремы Перрона (325).
§ 13. Ядерный распад (325).
§ 14. Математическая экономика (326).
§ 15. Матрицы Минковского - Леонтьева (329).
§ 16. Положительность определителя (330).
§ 17. Усиление теоремы 6 (331).
§ 18. Линейное программирование (331).
§ 19. Теория игр (332).
§ 20. Марковские процессы принятия решений (334).
§ 21. Экономическая модель (334).
Приложение А. Линейные уравнения и ранг
§ 1. Введение (344).
§ 2. Определители (344).
§ 3. Свойство алгебраических дополнений (345).
§ 4. Правило Крамера (345).
§ 5. Однородные системы (345).
§ 6. Ранг (349).
§ 7. Ранг квадратичной формы (349).
§ 8. Закон инерции (Якоби - Сильвестра) (349).
§ 9. Сигнатура (350).
Приложение Б. Метод Эрмита
Приложение В. Моменты и квадратичные формы
§ 1. Введение (354).
§ 2. Обозначения (354).
§ 3. Метод Фишера (355).
§ 4. Моментное представление (356).
§ 5. Результат Герглотца (357).
Библиография и комментарий
Дополнительная литература по теории матриц и ее приложениям
Именной указатель
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Введение в теорию матриц, Беллман Р. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать книгу Введение в теорию матриц, Беллман Р. - djvu - depositfiles.

Скачать книгу Введение в теорию матриц, Беллман Р. - djvu - Яндекс.Диск.