Практикум з розв`язування задач математичних олімпіад, Ясінський A., 2006

Практикум з розв'язування задач математичних олімпіад, Ясінський A., 2006.

У пропонованому посібнику розглядається система завдань з тем: «Алгебра», «Геометрія», «Комбінаторика», «Теорія чисел», «Конструкцiї», для яких наведенi зразки міркувань i розв’язування та система задач для самостійного розв’язування.





Задачи.
Задача 1
Нескінченний аркуш паперу покритий шаром доміношок 1x2, сторони яких йдуть по лініях сітки. Довести, шо його можна покрити ще трьома шарами доміношок аналогічним чином так, щоб жодна плитка не лежала точно над якоюсь іншою.

Задача 2
Б одній із вершин правильного л-кутника записана одиниця, а в інших — нулі. Бешкетник Петро одночасно додав до числа в кожній вершині його сусіда за годинниковою стрілкою; потім він додав до числа в кожній вершині число, яке стоїть від нього через одну вершину за годинниковою стрілкою; потім він додав до числа в кожній вершині число, яке стоїть від нього через дві вершини за годинниковою стрілкою, і т. д; нарешті він додав до числа в кожній вершині його сусіда проти руху годинникової стрілки. Після цих операцій п-\ із записаних чисел стали рівними. Знайти всі такі значення п.

Задача 3
У клітинках таблиці 2005 х 2005 розташовані плюси і мінуси. Дозволяється вибрати 2005 клітинок, жодні дві із яких не лежать у одному рядку або в одному стовпчику, і поміняти знаки у вибраних клітинках на протилежні. Довести, шо за допомогою таких дій можна домогтися того, щоб у таблиці залишилось не більш ніж 2004 плюси.

Задача 4
Чи існує така множина А. яка складається із натуральних чисел, щоб будь-яке натуральне число, яке їй не належить, було середнім арифметичним двох різних чисел, що їй належать, а жодне число із А не має цієї властивості.

Задача 5
Розглянемо всі можливі набори, які складаються з трьох різних натуральних чисел від І до р-І, де р - просте число. Для кожного такого набору розглянемо остачу від ділення добутку його чисел на р. Довести, що серед одержаних остач одиниць не менше, ніж двійок.

Задача 6
Тасуванням колоди із п карт називатимемо таку дію: колода ділиться на деяку (довільну) кількість частин, які без зміни положення карт всередині них перекладаються у зворотному порядку. Довести, шо колоду із 1000 карт можна перевести із будь-якого положення у будь-яке інше не більше ніж за 56 тасувань.

Задача 7
З множини, яка утворена з п елементів, вибрали ІООпідмножин. Усі вони парні (тобто містять парну кількість елементів), їх усі можливі перетини по 2, по 3, ..., по 99 множин також парні, а перетин усіх 100 підмножин непарний. При якому найменшому п це можливо?

Задача 8
У компанії як мінімум 10 осіб. Серед будь-яких 10 із них є троє попарно знайомих. Довести, шо знайдуться або 7 таких осіб, які зовсім не мають знайомих, або такі 7 осіб, що кожний, який залишився, був знайомий з кимось із цих семи.

Задача 9
Скільки існує 10-цифрових чисел, які діляться на 66667 і записуються тільки цифрами 3,4, 5 і 6?

Задача 10
Довести, що число способів розрізати прямокутник 998x999 на куточки, які складаються із трьох клітинок, не перевищує числа способів розрізати прямокутник 1998x2000на вказані куточки так, шо жодні два куточки не утворювали прямокутника 2x3.

Задача 11
Граф мас 2n вершин, причому всі вони мають степінь 3. Довести, що можна так вибрати п ребер, що правильне фарбування в 3 кольори вибраних ребер однозначно б задавало правильне фарбування в три кольори всіх ребер графа. (Фарбування називають правильним, якщо ребра, шо мають спільну вершину, пофарбовані в різний колір.).



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Практикум з розв`язування задач математичних олімпіад, Ясінський A., 2006 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать книгу Практикум з розв'язування задач математичних олімпіад, Ясінський A., 2006 - pdf - depositfiles.

Скачать книгу Практикум з розв'язування задач математичних олімпіад, Ясінський A., 2006 - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: математика :: задачи по математике :: Ясінський