Математический аквариум, Уфнаровский В.А., 2010

Математический аквариум, Уфнаровский В.А., 2010.

Книга посвящена нескольким ярким фрагментам из различных областей математики. В каждой задаче указывается не только решение, но и тот путь, по которому к нему можно прийти. Изложение материала свободное. Поэтому читатель может почувствовать, как именно рождаются решения математических задач.

Книга рассчитана на широкий круг лиц, интересующихся математикой, в первую очередь - школьников старших классов, а также на будущих абитуриентов и участников олимпиад.
Книга воспроизводится по изданию 1987 года (издательство «Штиинца»).


Опытный репетитор любит использовать на первом занятии задачи с модулем. Девяносто пять процентов, что новый ученик не будет иметь даже представления о том, как браться за задачи типа Между тем рецепт решения настолько примитивен, что в трёх случаях из четырёх домой ученик придёт не только с умением решать подобные задачи, но и с твёрдым убеждением, что наконец-то он встретил человека, по-настоящему разбирающегося в мудрёной науке математике (в оставшемся одном случае из четырёх опытный репетитор под благовидным предлогом от ученика отказывается). 

Суть же рецепта одна — перебор. Умение перебирать варианты составляет ещё одну важную профессиональную черту математика. Умение это складывается, во-первых, из готовности решиться на перебор, а во-вторых, способности его сократить. Чтобы проиллюстрировать это, мы поступим как опытный репетитор и начнём с модулей.

Пример.

Решить уравнение
           |2х —4|+|х- 1| = 5.

Прямой перебор потребует четыре варианта (при трёх м дулях их было бы уже восемь). Метод интервалов требует только трёх (и четырёх—для трёх модулей).


                      (4-2x) + (l-x)=5 |                         | (2x-4) + (x-l) = 5 
                        ____________|(4-2х) + (х-1) = 5|________________
                                             1|                      2|

                                             Метод интервалов
Начнём. Найдём точки, где модули обращаются в нуль — это точки
х = 2 и х = 1. Отметив их на числовой прямой, получим три интервала. Решая задачу в каждом из интервалов по отдельности, получаем совокупность систем:
               х≥2,
              (2х-4) + (х-1)=5;

              1 ≤ х ≤ 2,
             (1-2х) + (х-1) = 5;

              х≤1
             (4-2х) + (1-х) = 5.

Особых комментариев здесь не требуется. Рассмотрим, например, вторую систему. В ней выражение под знаком первого модуля отрицательно (чтобы проверить, можно подставить любую точку из интервала, например 1,5), а под знаком второго модуля — положительное число. В соответствии с этим и раскрыты оба модуля. Ну а дальше уже без модулей делать нечего. Два решения х = 0 и  х= 10/3. Отметим, что вторая система решений не дала (помешало неравенство). Бывает также, что одно и то же решение появляется в двух системах: в одной оно отбрасывается неравенством, а в другой нет. Наконец, иногда уравнение вообще «пропадает». В этом случае следует руководствоваться неравенством, так что в ответе у уравнения может оказаться целый интервал.

При указанной методике, когда вся совокупность равенств и неравенств выписывается сразу, писать приходится немного больше, но зато очень редко допускаются ошибки. Чаще же опытные люди выписывают только один раз неравенство, а затем работают только с уравнением и... в конце забывают проверить, удовлетворяет ли ответ неравенству.

Купить книгу Математический аквариум, Уфнаровский В.А., 2010 - djvu - depositfiles.

Купить книгу Математический аквариум, Уфнаровский В.А., 2010 .





Теги: математический аквариум :: задачи :: Уфнаровский :: 2010