Математические бильярды, Гальперин Г.А., Земляков А.Н., 1990

Математические бильярды, Гальперин Г.А., Земляков А.Н., 1990.

    Рассказывается о поведении бильярдного шара на столе произвольной формы без луз. Описание этого поведения приводит к решению разнообразных вопросов математики и механики: задач о переливании жидкости, об освещении зеркальных комнат, об осциллографе и фигурах Лиссажу и др. На доступном школьникам языке вводятся понятия конфигурационного и фазового пространства, понятия геодезических на простейших двумерных поверхностях, предлагаются (с решениями) многочисленные интересные задачи.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие 5
Введение 7
Часть I. БИЛЬЯРДЫ В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕЙ 24
Глава 1. Бильярд в круге 24
§ 1. Шар в круглом бильярде без луз 24
§ 2. Теорема Якоби. Применение к теории чисел 31
§ 3. Теорема Пуанкаре о возвращении. Конфигурационное и фазовое пространства. Парадокс Цермело и модель Эренфестов 42
Глава 2. Бильярд в эллипсе 60
§ 4. Эллипс и его бильярдные свойства. Каустики 60
§ 5. Задача об освещении невыпуклой области 78
§ 6. Экстремальные свойства бильярдных траекторий. Принцип Ферма и теорема Киркгофа 89
Часть II. ГЕОМЕТРИЯ И ФИЗИКА ПРЯМОУГОЛЬНОГО БИЛЬЯРДА 100
Глава 3. Геометрия прямоугольного бильярда 100
§ 7. Бильярдный шар на прямоугольном стола без луз 100
§ 8. Тор и его обмотки 108
§ 9. Бильярд в прямоугольнике и тор 117
Глава 4. Физика прямоугольного бильярда 122
§ 10. Фигуры Лиссажу 122
§ 11. Бильярд в прямоугольнике и осциллограф 129
§ 12. Задача о пеленге 133
Часть III. ГЕОМЕТРИЯ И АРИФМЕТИКА СТОЛКНОВЕНИЙ 137
Глава 5. Одномерный «газ» из двух молекул 139
§ 13. Два упруго сталкивающихся шара на отрезке 139
§ 14. Два шара на отрезке: сведение к бильярду в треугольника 147
§ 15. Два шара на полупрямой: сведение к бильярду в угле 153
Глава 6. Одномерный «газ» из большого числа молекул 159
§ 16. Три упругих шара на прямой 159
§ 17. Для упругих шаров на прямой 165
§ 18. Число столкновений между молекулами одномерного «rasa» 178
Глава 7. Многомерный «газ» 187
§ 19. Конфигурационное пространство «rasa» из n молекул в пространстве и сосуде 190
§ 20. Сведение «газа» в пространстве и сосуде, к бильярду 193
§ 21. Рост числа столкновений между молекулами «газа» 197
Часть IV. БИЛЬЯРДЫ В МНОГОУГОЛЬНИКАХ И МНОГОГРАННИКАХ 206
Глава 8. Геометрия многоугольного бильярда 207
§ 22. Бильярды в «торических» многоугольниках 207
§ 23. Склейка поверхностей из многоугольников 216
§ 24. Бильярды в «рациональных» многоугольниках и поверхности 226
Глава 9. Поведение бильярдных траекторий в многоугольниках 235
§ 25. Траектории в рациональных многоугольниках и обмотки кренделей 236
§ 26. Может ли непериодическая траектория в выпуклом многоугольнике не быть всюду плотной в нем? 246
§ 27. Периодические траектории в многоугольниках и многогранниках 255
Заключение 282
Список литературы 287


ПРЕДИСЛОВИЕ.
    В данной книге изучаются так называемые бильярдные системы. К простейшим из них относятся «бильярд в плоской области» (точечный шар, движущийся внутри круга, прямоугольника, эллипса, многоугольника и т. д.) и «одномерный бильярд» (конечное число точечных шаров, движущихся по отрезку, лучу или по всей бесконечной прямой). Общим свойством бильярдных систем является закон абсолютно упругого отражения. О геометрических, «арифметических», физических следствиях этого закона и рассказывается в книге.

    Методы исследования бильярдных систем (например, анализ поведения бильярдных траекторий), с одной стороны, примыкают к традиционной геометрии, а с другой - лежат на стыке отраслей современной математики - теории чисел, топологии, эргодической теории и теоретической механики. Будучи, как правило, вполне элементарными, эти методы позволяют получить далеко не элементарные выводы.

Многие из излагаемых в книге результатов являются классическими и восходят к Кориолису, Больцману, Пуанкаре, Киркгофу. Современная теория бильярдов является одним из актуальных направлений математической физики. Ее основы были заложены советским математиком Я. Г. Синаем и его школой. Проблемы этой теории непосредственно близки к переднему краю сегодняшней математики. Поэтому книга, возможно, будет интересна не только школьникам, но и студентам, и специалистам - математикам, механикам, физикам. В ней сформулировано немало вопросов, остающихся открытыми, и мы надеемся, что кому-нибудь из читателей книги удастся продвинуться в их исследовании. Учитывая элементарность методов (при неэлементарности результатов) и плодотворность свежего взгляда на рассматриваемые вопросы и проблемы, мы особенно рассчитываем на читателей-старшеклассников.

    Многие из решаемых в книге задач разбирались на занятиях кружков в физико-математической школе-интернате при МГУ, в летнем лагере Малой академии наук Крыма «Искатель». Часть материала публиковалась в журнале «Квант» (см. список литературы в конце книги).




Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математические бильярды, Гальперин Г.А., Земляков А.Н., 1990 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать книгу - Математические бильярды, Гальперин Г.А., Земляков А.Н., 1990. - Яндекс Народ Диск.

Скачать книгу - Математические бильярды, Гальперин Г.А., Земляков А.Н., 1990. - depositfiles.




Теги: книга по математике :: игра :: бильярд :: Гальперин :: Земляков :: 1990