Введение в теорию обратных спектральных задач, Юрко В.А., 2006

Введение в теорию обратных спектральных задач, Юрко В.А., 2006.

   В книге рассматривается современное состояние теории обратных задач спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных уравнений. Представлены основные результаты и методы решения обратных задач как для уравнения Штурма-Лиувилля, так и для дифференциальных уравнений высших порядков и систем дифференциальных уравнений. Материал книги представляет собой переработанное и дополненное изложение курса лекций, читавшегося автором в ряде классических университетов (Саратовский государственный университет (Россия), университет Дуйсбург-Эссен (Германия), Сивасский университет (Турция) и др.).
Для математиков, физиков, инженеров, а также для студентов старших курсов математических, физических и технических специальностей.




Метод эталонных моделей.
В методе эталонных моделей строится последовательность модельных операторов, которые приближают в некотором смысле искомый оператор и позволяют строить потенциал «шагами». Метод дает эффективный алгоритм решения обратной задачи и имеет широкую область применения. Он применим для многих важных классов обратных задач, когда другие методы оказываются неприменимыми. Например, в [258] исследовались так называемые неполные обратные задачи для дифференциальных операторов высших порядков, когда только некоторая часть спектральной информации доступна для измерения и имеется априорная информация об операторе или его спектре. В [276] метод эталонных моделей применялся при решении обратной задачи для систем дифференциальных уравнений с нелинейной зависимостью от спектрального параметра, а в [262] — для исследования интегродифференциальных операторов. Этот метод также использовался для решения обратной задачи теории упругости [261].

Однако метод эталонных моделей работает при довольно жестких условиях на оператор. Например, для оператора Штурма-Лиувилля метод работает в классах аналитических или кусочно-аналитических на отрезке [0, п] потенциалов. Метод также работает для более общих классов потенциалов, например в классе кусочно-операторно-аналитических функций (см. [82]) или в других классах функций, которые могут быть разложены в ряды, обобщающие ряды Тейлора. В этом параграфе идея метода эталонных моделей показана на простейшем примере операторов Штурма-Лиувилля. Чтобы не загромождать изложения, мы ограничимся случаем, когда потенциал q(x) краевой задачи (1.1.1)—(1.1.2) является аналитической на [0, п] функцией. Другие, более сложные применения метода эталонных моделей изложены в [250, 258].

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава 1. Обратные задачи для операторов Штурма–Лиувилля на конечном интервале.
§1.1. Собственные значения и собственные функции.
§1.2. Постановка обратных задач. Теоремы единственности.
§1.3.Метод оператора преобразования.
§1.4.Метод спектральных отображений.
§1.5.Метод эталонных моделей.
§1.6. Устойчивость решения обратной задачи.
§1.7. Обратные задачи на геометрических графах.
Глава 2. Обратные задачи для сингулярных операторов Штурма-Лиувилля.
§2.1.Операторы Штурма–Лиувилля на полуоси.
§2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов.
§2.3. Обратная задача на полуоси для локально суммируемых потенциалов.
§2.4.Операторы Штурма–Лиувилля на оси.
§2.5. Обратная задача рассеяния на оси.
Глава 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов произвольных порядков.
§3.1. Свойства спектральных характеристик.
§3.2. Восстановление дифференциальных операторов на полуоси.
§3.3. Восстановление дифференциальных операторов на конечном интервале.
§3.4. Самосопряженный случай.
Глава 4. Обратные задачи для дифференциальных систем.
§4.1.Свойства матрицы Вейля.
§4.2. Решение обратной задачи по матрице Вейля.
§4.3. Необходимые и достаточные условия разрешимости.
Исторический очерк.
Список литературы.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Юрко