Обыкновенные дифференциальные уравнения, Треногин В.А., 2009

Обыкновенные дифференциальные уравнения, Треногин В.А., 2009.
 
   Книга содержит обновленный элементарный начальный курс обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующий программе для технических вузов, утвержденной Министерством образования и науки РФ. От других книг этого же профиля данный учебник отличается повышенной прикладной направленностью, в частности, применением компьютерных систем.
Книга будет полезна студентам различных вузов, преподавателям и лицам, интересующимся применениями ДУ в самых разнообразных областях науки и техники.
Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по физико-математическим, техническим, естественным и экономическим специальностям.




Дифференциальные уравнения, линейные относительно независимой переменной.
Этим параграфом начинается рассмотрение некоторых нелинейных ДУ. По методическом соображениям (как и в [12]) мы не будем использовать здесь слов «общее решение» и «произвольная постоянная». Формальное перенесение их с линейных ДУ на существенно более сложные нелинейные ДУ математически некорректно и может приводить к ошибкам.

Отметим еще, что исследование решений нелинейного ДУ требует иногда особенно вдумчивого математического анализа. Ведь при решении конкретных задач прикладного характера никому не нужно нагромождение математических формул. Вместо этого часто важно знать область определения того или иного решения, его график и особенности этого графика. Например, если график решения нелинейного ДУ может иметь одну или две вертикальные асимптоты, то возможны явления взрыва.

Оглавление.
Предисловие.
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка.
§1. Основные понятия. Теорема существования и единственности решения задач и Коши.
§2. Продолжение решений. Непродолжимые решения, явления взрыва и прекращения решения.
§3. Линейное однородное дифференциальное уравнение, его фундаментальное решение и общее решение.
§4. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение и нахождение его общего решения методом Лагранжа.
§5. Линейное ДУ с постоянным коэффициентом и со специальной правой частью.
§6. Дифференциальные уравнения, линейные относительно независимой переменной.
§7. Уравнение Бернулли.
§8. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
§9. Примеры нарушения единственности решения задачи Коши. Особые решения.
§10. Дифференциальные уравнения и неявные функции.
§11. Уравнения в дифференциалах и функции, заданные параметрически.
Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков.
§1. Задача Коши для дифференциальных уравнений высших порядков.
§2. Линейная независимость решений и определитель Вронского.
§3. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения.
§4. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка c постоянными коэффициентами.
§5. Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами.
§6. Основные свойства решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений.
§7. Линейное ДУ с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.
§8. Понятие о краевых (граничных) задачах.
§9. Общая краевая задача для линейного ДУ и ее функция Грина.
§10. Периодические решения неоднородного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
§11. Методы понижения порядка дифференциального уравнения.
Глава III. Системы дифференциальных уравнений первого порядка.
§1. Задача Коши для системы дифференциальных уравнений.
§2. Системы однородных линейных дифференциальных уравнений.
§3. Системы дифференциальных уравнений с постоянной диагонализуемой матрицей.
§4. Системы дифференциальных уравнений с постоянной комплексно диагонализуемой матрицей.
§5. Построение базиса из собственных и присоединенных векторов матрицы.
§6. Построение фундаментальной системы решений для системы ДУ с постоянной матрицей.
§7. Фундаментальная матрица и ее свойства.
§8. Системы неоднородных линейных ДУ. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
§9. Пример задачи о периодических решениях системы дифференциальных уравнений.
Глава IV. Динамические системы и элементы теории устойчивости по Ляпунову.
§1. Динамическая система ДУ, фазовое пространство, траектории.
§2. Первый интеграл динамической системы.
§3. Устойчивость положений равновесия.
§4. Теорема об устойчивости по линейному приближению.
§5. Положения равновесия двумерной линейной системы. Основные положения равновесия и их фазовые портреты.
§6. Движение материальной точки на прямой. Консервативные и диссипативные системы.
§7. Метод функций Ляпунова.
§8. Положения равновесия консервативных динамических систем.
§9. Доказательства теорем Ляпунова.
§10. Теорема Четаева о неустойчивости.
§11. Исследование устойчивости колебаний нелинейного математического маятника при наличии трения.
§12. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений.
Глава V. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений.
§1. Качественное исследование решений дифференциальных уравнений и метод изоклин.
§2. Метод последовательных приближений.
§3. Отыскание решений дифференциальных уравнений в виде степенных рядов.
§4. Метод малого параметра.
§5. Метод малого параметра в задаче с сингулярным возмущением.
§6. Разностные схемы.
§7. Метод пристрелки для решения краевых задач.
§8. Метод прогонки и разностный метод в вешении краевых задач.
Глава VI. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
§1. Банаховы пространства.
§2. Принцип сжимающих отображений.
§3. Некоторые свойства отображений конечномерных пространств.
§4. Доказательство теоремы Коши.
§5. Продолжение локального решения задачи Коши до ее глобального решения.
§6. Существование и единственность решения задачи Коши в линейном случае.
§7. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных значений и от параметров.
§8. Степенные ряды в банаховых пространствах и теорема о неявном операторе в аналитическом случае.
§9. Теорема Ляпунова об устойчивости положения равновесия по линейному приближению.
Глава VII. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка.
§1. Линейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными.
§2. Общее решение линейного дифференциального уравнения.
§3. Квазилинейные дифференциальные уравнения и их характеристики.
§4. Задача Коши для дифференциального уравнения с частными производными.
§5. Дифференциальные уравнения с несколькими независимыми переменными.
Дополнение I. Некоторые приложения обыкновенных дифференциальных уравнений.
§1. Закон всемирного тяготения, первый закон Кеплера и вторая космическая скорость.
§2. Резонанс, резонирующая частота в радиотехнике, биения и почти периодические решения.
§3. Периодические решения в экологии и в химической кинетике.
§4. Примеры бифуркационных явлений.
§5. Метод фазовой плоскости в исследовании периодических и солитонных решений.
§6. Метод малого параметра Линштедта–Пуанкаре для консервативных задач.
§7. Свободные колебания нелинейного математического маятника в отсутствие трения и при наличии трения.
§8. Эллиптические функции Якоби и дифференциальные уравнения.
§9. Метод Линштедта–Пуанкаре отыскания предельных циклов. Орбитальная устойчивость.
§10. Релаксационные колебания.
§11. Теоремы Пуанкаре–Андронова и Пуанкаре–Бендиксона.
§12. Устойчивые предельные циклы в химической кинетике и в биологии.
§13. Элементарная модель теплового взрыва.
§14. Операторы сдвига по траекториям ДС. Аттракторы, абстрактные ДС.
§15. Корректные и некорректные математические модели и задачи. Структурная устойчивость.
Дополнение II. Приложения MATHCAD к задачам для обыкновенных ДУ ( В.И. Ракитин, В.А. Треногин).
§1. Окно и инструменты MATHCAD.
§2. Простейшие вычисления. Операторы присваивания.
§3. Построение графиков функций.
§4. Использование блока решений обыкновенных ДУ и систем ДУ.
§5. Примеры решения задач Коши для нелинейных ДУ.
§6. Решение нелинейной задачи Коши с малым параметром при производной.
§7. Пример решения краевой задачи.
§8. Пример задач ис периодическим биением.
§9. Одно из периодических решений задачи «хищник–жертва».
§10. Пример задач и с релаксационным колебанием.
§11. Численное моделирование задач ио тепловом взрыве.
Дополнение III. Решение задач для обыкновенных ДУ с использованием системы компьютерной алгебры Mathematica (Н.И. Земцова, В.А. Треногин).
§1. Структура системы Mathematica.
§2. Простейшие численные и символьные вычисления в системе Mathematica.
2.1. Численные расчеты (279).
2.2. Символьные вычисления (280).
§3. Запись дифференциальных уравнений в системе Mathematica и их решение на примере простейших задач.
3.1. Решение дифференциальных уравнений в символьном виде (280).
3.2. Решение дифференциальных уравнений в численном виде (281).
§4. Метод изоклин.
§5. Нахождение решения в виде степенного ряда.
§6. Метод малого параметра.
§7. Уравнение Эйри.
§8. Задача о релаксационных колебаниях.
§9. Устойчивый и неустойчивый предельные циклы.
§10. Нахождение положений равновесия ДС.
§11. Система Лотки–Вольтерры с насыщением.
§12. Брюсселятор.
§13. Странный аттрактор Лоренца.
Предметный указатель.
Список литературы.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Обыкновенные дифференциальные уравнения, Треногин В.А., 2009 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать файл № 1 - pdf
Скачать файл № 2 - djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.

Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Треногин