Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения, Сабитов К.Б., 2005

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения, Сабитов К.Б., 2005.

   В пособии изложены чисто функциональные, обыкновенные дифференциальные, интегральные уравнения, а также дифференциальные уравнения в частных производных и классические методы их решения. На основании функциональных уравнений даны определения основных элементарных функций. Приведено множество примеров различных функциональных уравнений, среди них уравнения, которые предлагались на математических олимпиадах школьников и студентов.
Для студентов математических, физико-математических и технических факультетов вузов, обучающихся по специальностям «Математика», «Прикладная математика и информатика», «Информатика», «Физика», а также учителей математики, информатики и физики, учащихся старших классов гимназий, лицеев и средних общеобразовательных школ с углубленным изучением математики.




Понятие о корректно поставленной краевой задаче для дифференциальных уравнений. Примеры некорректных краевых задач.
В предыдущих параграфах мы видели, что краевые задачи состоят в отыскании решений дифференциальных уравнений в частных производных, удовлетворяющих определенным дополнительным условиям. Такими дополнительными условиями чаще всего являются граничные условия, т.е. условия, заданные на границе рассматриваемой среды, и начальные условия, относящиеся к одному моменту времени, с которого начинается изучение физического явления. Найденные решения физических или иных задач естествознания дают нам приближенное математическое описание ожидаемого хода или вида физических явлений. Это связано с тем, что при построении математической модели физических и других задач с помощью дифференциальных уравнений в частных производных мы вынуждены абстрагироваться от многих сторон этой задачи, отбрасывать многое как несущественное, выделять то, что кажется главным. Поэтому результаты, полученные при математическом моделировании физических и других задач, не являются точными. В связи с этим вводится следующее понятие корректности постановки краевой задачи.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава 1. Вспомогательные сведения из курса математического анализа.
§1. Действительные числа.
§2. Числовые функции.
§3. Последовательности. Предел последовательности.
§4. Предел функции.
§5. Непрерывность функции.
§6. Обратная функция. Существование и непрерывность обратной функции.
§7. Производная, дифференцируемость, дифференциал функции.
§8. Неопределенный интеграл.
§9. Определенный интеграл.
§10. Несобственные интегралы.
§11. Ряды.
§12. Кривые в пространстве. Длина кривой.
§13. Функции многих переменных.
§14. Предел и непрерывность функций многих переменных.
§15. Частная производная, дифференцируемость и дифференциал.
§16. Локальный экстремум функции многих переменных.
§17. Неявные функции. Зависимость функций.
§18. Двойные интегралы.
§19. Тройные и n - кратные интегралы.
§20. Криволинейные интегралы.
§21. Поверхностные интегралы.
§22. Интегралы, зависящие от параметра. Эйлеровы интегралы.
§23. Комплексные числа и функции.
Глава 2. Функциональные уравнения.
§1. Функциональное уравнение, определяющее показательную функцию.
§2. Функциональное уравнение, определяющее логарифмическую функцию.
§3. Функциональное уравнение, определяющее степенную функцию.
§4. Функциональное уравнение, определяющее линейную функцию.
§5. Функциональные уравнения, определяющие тригонометрические функции синус и косинус.
§6. Задачи на решение функциональных уравнений.
Глава 3. Дифференциальные уравнения.
§1. Основные понятия дифференциальных уравнений.
§2. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка, разрешимые в явном виде.
§3. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений.
§4. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особые решения.
§5. Зависимость решения от начальных условий, правой части и параметров.
§6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.
§7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Метод вариации постоянных.
§8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов.
§9. Решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами с помощью степенных рядов. Уравнение Бесселя. Гипергеометрическое уравнение.
§10. Качественные свойства решений линейных уравнений второго порядка.
§11 Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
§12. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
§13. Устойчивость решений дифференциальных уравнений.
§14. Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка.
§15. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства.
§16. Задачи на применение дифференциальных уравнений первого порядка.
§17. Применение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению колебательных процессов.
Глава 4. Интегральные уравнения.
§1. Основные понятия. Примеры.
§2. Интегральное уравнение Абеля.
§3. Решение интегральных уравнений с помощью рядов.
§4. Связь уравнений Вольтерра с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями.
§5. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма.
§6. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с непрерывным ядром. Теоремы Фредгольма.
§7. Симметрические интегральные уравнения.
§8. Краевые задачи на собственные значения (задача Штурма - Лиувилля).
§9. Сингулярные интегральные уравнения.
Глава 5 Дифференциальные уравнения в частных производных.
§1. Дифференциальные уравнения в частных производных. Основные понятия.
§2. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.
§3. Вывод уравнения колебаний струны. Постановка основных начально-граничных задач.
§4. Вывод уравнения теплопроводности. Постановка основных начально-граничных задач.
§5. Задачи, приводящиеся к уравнению Пуассона и Лапласа. Постановка основных граничных задач.
§6. Понятие о корректно поставленной краевой задаче для дифференциальных уравнений. Примеры некорректных краевых задач.
§7. Задача Коши. Теорема Коши - Ковалевской.
§8. Типы линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.
§9. Приведение к каноническому виду дифференциального уравнения второго порядка от двух независимых переменных. Понятие характеристики.
§10. Первая начально-граничная задача для уравнения колебаний струны.
§11. Задача Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера.
§12. Гармонические функции. Примеры. Теорема Кельвина.
§13. Внутренний принцип экстремума гармонических функций. Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле.
§14. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом разделения переменных. Формула Пуассона.
§15. Свойства гармонических функций.
§16. Задачи Неймана и Пуанкаре для уравнения Лапласа.
§17. Внешние граничные задачи для уравнения Лапласа.
§18. Решение граничных задач для уравнения Лапласа методами потенциала и интегральных уравнений.
§19. Первая начально-граничная задача для уравнения теплопроводности.
§20. Распространение тепла в бесконечном стержне (задача Коши).
Задачи для самостоятельной работы.
Библиографический список.
Список некоторых обозначений.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения, Сабитов К.Б., 2005 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Сабитов