Теория вероятностей и случайные процессы, Коралов Л.Б., Синай Я.Г., 2014

Теория вероятностей и случайные процессы, Коралов Л.Б., Синай Я.Г., 2014.

   В основу книги положены курсы лекций, читавшихся авторами в американских университета. Изложение теории вероятностей (главы 1—11) начинается с нулевого уровня и доходит до продвинутых разделов, иногда включаемых в курсы для студентов, специализирующихся в этой области.
Для понимания второй части книги (случайные процессы — главы 12—22) требуется владение первой частью и несколько более высокая математическая культура — в главах, использующих сведения из функционального анализа и дифференциальных уравнений. Большинство глав заканчивается списком задач.
Издание предназначено для студентов физико-математических специальностей университетов и всех изучающих и применяющих теорию вероятностей.




Примеры.
Эндрю и Боб играют в настольный теннис. Игра заканчивается, когда первый игрок наберет 11 очков, а второй имеет при этом 9 очков или меньше. Однако если в какой-то момент счет окажется 10:10, то игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не будет на 2 очка впереди. Эндрю выигрывает каждое очко с вероятностью 60% (независимо от того, что произошло в игре до этого). Какова вероятность того, что Эндрю доведет игру до победы, если в настоящий момент он впереди со счетом 9:8?

Два кандидата претендуют на некий пост. Машины для голосования показали, что один из них получил 520 000 голосов, а другой — 480000 голосов. Впоследствии оказалось, что машины были неисправны  — они случайным образом заменяли каждый голос на противоположный с вероятностью 45 % и независимо от остальных голосов. Проигравший кандидат попросил провести переголосование. Есть ли для этого основания?

Предположим, что в течение дня цена акции либо растет на 3% с вероятностью 1/2, либо падает на 3% с вероятностью 1/2 и что исходы в различные дни независимы. Оцените вероятность того, что через 250 дней цена акции будет не ниже сегодняшней.

Оглавление.
Предисловие к русскому изданию.
Предисловие.
Часть I Теория вероятностей.
Глава 1. Случайные величины и их распределения.
§1.1. Пространство элементарных исходов, σ-алгебры и меры.
§1.2. Математическое ожидание и дисперсия случайных величин на дискретном вероятностном пространстве.
§1.3. Вероятность объединения событий.
§1.4. Эквивалентные определения σ-аддитивности, борелевских σ-алгебр и измеримости.
§1.5. Функции распределения и плотности.
§1.6. Задачи.
Глава 2. Последовательности независимых испытаний.
§2.1. Закон больших чисел и его приложения.
§2.2. Предельная теорема Муавра—Лапласа и ее приложения.
§2.3. Предельная теорема Пуассона.
§2.4. Задачи.
Глава 3. Интеграл Лебега и математическое ожидание.
§3.1. Определение интеграла Лебега.
§3.2. Индуцированные меры и функции распределения.
§3.3. Типы мер и функций распределения.
§3.4. Замечания о построении меры Лебега.
§3.5. Сходимость функций и интегралов. Теорема Фубини.
§3.6. Знакопеременные меры и теорема Радона—Никодима.
§3.7. Пространства Lp.
§3.8. Метод Монте-Карло.
§3.9. Задачи.
Глава 4. Условные вероятности и независимость.
§4.1. Условные вероятности.
§4.2. Независимость событий, о-алгебр и случайных величин.
§4.3. п-системы и независимость.
§4.4. Задачи.
Глава 5. Цепи Маркова с конечным числом состояний.
§5.1. Стохастические матрицы.
§5.2. Цепи Маркова.
§5.3. Эргодические и неэргодические цепи Маркова.
§5.4. Закон больших чисел и энтропия цепи Маркова.
§5.5. Произведения положительных матриц.
§5.6. Общие цепи Маркова и условие Дёблина.
§5.7. Задачи.
Глава 6. Случайные блуждания на решетке Zd.
§6.1. Возвратные и невозвратные случайные блуждания.
§6.2. Случайное блуждание на Z и принцип отражения.
§6.3. Закон арксинуса.
§6.4. Задача о разорении игрока.
§6.5. Задачи.
Глава 7. Закон больших чисел.
§7.1. Определения, леммы Бореля—Кантелли и неравенство Колмогорова.
§7.2. Теоремы Колмогорова об усиленном законе больших чисел.
§7.3. Задачи.
Глава 8. Слабая сходимость мер.
§8.1. Определение слабой сходимости.
§8.2. Слабая сходимость и функции распределения.
§8.3. Слабая компактность и плотность. Теорема Прохорова.
§8.4. Задачи.
Глава 9. Характеристические функции.
§9.1. Определение и основные свойства.
§9.2. Характеристические функции и слабая сходимость.
§9.3. Гауссовские случайные векторы.
§9.4. Задачи.
Глава 10. Предельные теоремы.
§10.1. Центральная предельная теорема. Условие Лиццеберга.
§10.2. Локальная предельная теорема.
§10.3. Центральная предельная теорема и теория ренормгруппы.
§10.4. Вероятности больших уклонений.
§10.5. Другие предельные теоремы.
§10.6. Задачи.
Глава 11. Несколько интересных вероятностных задач.
§11.1. Полу круто вой закон Вигнера для симметрических случайных матриц.
§11.2. Произведения случайных матриц.
§11.3. Статистика выпуклых ломаных.
Часть II Случайные процессы и случайные поля.
Глава 12. Основные понятия.
§12.1. Определение случайного процесса и случайного поля.
§12.2. Теорема Колмогорова о согласованных конечномерных распределениях.
§12.3. Процесс Пуассона.
§12.4. Задачи.
Глава 13. Условные математические ожидания и мартингалы.
§13.1. Условные математические ожидания.
§13.2. Свойства условных математических ожиданий.
§13.3. Регулярные условные вероятности.
§13.4. Фильтрации, моменты остановки и мартингалы.
§13.5. Мартингалы с дискретным временем.
§13.6. Мартингалы с непрерывным временем.
§13.7. Сходимость мартингалов.
§13.8. Задачи.
Глава 14. Марковские процессы с конечным пространством состояний.
§14.1. Определение марковского процесса.
§14.2. Инфинитезимальная матрица.
§14.3. Прямая конструкция марковского процесса.
§14.4. Задача из теории массового обслуживания.
§14.5. Задачи.
Глава 15. Стационарные в широком смысле случайные процессы.
§15.1. Гильбертово пространство, порожденное стационарным процессом.
§15.2. Закон больших чисел для стационарного случайного процесса.
§15.3. Теорема Бохнера и другие полезные результаты.
§15.4. Спектральное представление стационарного случайного процесса.
§15.5. Ортогональные случайные меры.
§15.6. Линейный прогноз стационарных случайных процессов.
§15.7. Стационарные случайные процессы с непрерывным временем.
§15.8. Задачи.
Глава 16. Стационарные в узком смысле процессы.
§16.1. Стационарные процессы и сохраняющие меру преобразования.
§16.2. Эргодическая теорема Биркгофа—Хинчина.
§16.3. Эргодичность, перемешивание и регулярность.
§16.4. Стационарные процессы с непрерывным временем.
§16.5. Задачи.
Глава 17. Обобщенные случайные процессы.
§17.1. Обобщенные функции и обобщенные случайные процессы.
§17.2. Гауссовские процессы и белый шум.
Глава 18. Броуновское движение.
§18.1. Определение броуновского движения.
§18.2. Пространство С([0, ∞)).
§18.3. Существование меры Винера, теорема Донскера.
§18.4. Теорема Колмогорова.
§18.5. Некоторые свойства броуновского движения.
§18.6. Задачи.
Глава 19. Марковские процессы и марковские семейства.
§19.1. Распределение максимума броуновского движения.
§19.2. Определение марковского свойства.
§19.3. Марковское свойство броуновского движения.
§19.4. Пополненная фильтрация.
§19.5. Определение строго марковского свойства.
§19.6. Строго марковское свойство броуновского движения.
§19.7. Задачи.
Глава 20. Стохастический интеграл и формула Ито.
§20.1. Квадратическая вариация квадратично интегрируемого мартингала.
§20.2. Пространство подынтегральных функций для стохастического интеграла Ито.
§20.3. Простые процессы.
§20.4. Определение и основные свойства стохастического интеграла.
§20.5. Дальнейшие свойства стохастического интеграла.
§20.6. Локальные мартингалы.
§20.7. Формула Ито.
§20.8. Задачи.
Глава 21. Стохастические дифференциальные уравнения.
§21.1. Существование сильных решений стохастических дифференциальных уравнений.
§21.2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа.
§21.3. Стохастические дифференциальные уравнения и УрЧП.
§21.4. Марковское свойство решений СДУ.
§21.5. Задача гомогенизации.
§21.6. Задачи.
Глава 22. Гиббсовские случайные поля.
§22.1. Определение гиббсовского случайного поля.
§22.2. Пример фазового перехода.
Предметный указатель.

Купить .

Купить - rtf .





Теги: учебник по математике :: математика :: Коралов :: Синай :: теория вероятностей