Лекции по функциональному анализу, Хелемский А.Я., 2014

Лекции по функциональному анализу, Хелемский А.Я., 2014.

   Книга представляет собой университетский учебник по функциональному анализу. Она рассчитана на студентов 3-5 курсов, аспирантов и преподавателей математических факультетов, а также специализирующихся в области математики и теоретической физики научных работников. В ее основу положены лекции, многократно читавшиеся автором на механико-математическом факультете МГУ, и семинарские занятия, которые регулярно проводились им в академических группах этого факультета.
Вводимые понятия и доказываемые утверждения общего характера иллюстрируются большим числом примеров и упражнений (задач).
От читателя требуется подготовка в объеме двух первых курсов математических факультетов российских университетов.




Категории и их первые примеры.
Говоря о совокупностях или семействах каких-то объектов, мы будем в одних случаях говорить «множество», а в других —«класс». Дело в том, что употреблять в строгом математическим смысле один и тот же термин, скажем, множество, для всех мыслимых совокупностей нельзя. Например, допуская понятие «множества всех множеств», мы придем к ряду известных парадоксов, столь омрачивших когда-то последние годы Кантора. Поэтому там, где мы не уверены, что можно говорить о множествах, — а это касается, говоря нестрого, «слишком больших» совокупностей, мы будем, как это принято, говорить «класс». Получается, что всякое множество есть класс, но не наоборот: скажем, класс всех линейных пространств не есть множество. Для наших нужд подобный «наивный» выход из положения вполне достаточен. В строгой теории множеств все, конечно, гораздо сложнее. Рассказ о том, что там понимается под множествами и что—под классами и почему подобная «игра в термины» спасает нас от противоречий, выходит за рамки этой книги; см., например, [23]. (Мы лишь намекнем, что множествами целесообразно считать в точности те классы, которым разрешено быть элементами других классов.).

Содержание.
Предисловие к первому изданию Предисловие ко второму изданию.
Глава 0. Фундамент: категории и иже с ними.
§1. О множествах, а также линейных и метрических пространствах.
§2. Топологические пространства.
§3. Категории и их первые примеры.
§4. Изоморфизмы. Проблема классификации объектов и морфизмов.
§5. Другие виды морфизмов.
§6. Образец теоретико-категорной конструкции: (ко)произведение.
§7. Функторы.
Глава 1. Нормированные пространства и ограниченные операторы. (В ожидании полноты).
§1. Преднормированные и нормированные пространства. Примеры.
§2. Скалярные произведения и почти гильбертовы пространства.
§3. Ограниченные операторы: первые сведения и самые необходимые примеры.
§4. Топологические и категорные свойства ограниченных операторов.
§5. Некоторые типы операторов и операторные конструкции. Проекторы.
§6. Функционалы и теорема Хана—Банаха.
§7. Приглашение в квантовый функциональный анализ.
Глава 2. Банаховы пространства и их преимущества.
§1. То, что лежит на поверхности.
§2. Категории банаховых и гильбертовых пространств. Вопросы классификации и теорема Фишера—Рисса.
§3. Теорема об ортогональном дополнении и вокруг нее.
§4. Принцип открытости и принцип равномерной непрерывности.
§5. Функтор банаховой сопряженности и другие категорные вопросы.
§6. Пополнение.
§7. Алгебраическое и банахово тензорное произведение.
§8. Гильбертово тензорное произведение.
Глава 3. От компактных пространств до фредгольмовых операторов.
§1. Компакты и связанные с ними функциональные пространства.
§2. Метрические компакты и сверхограниченность.
§3. Компактные операторы: общие свойства и примеры.
§4. Компактные операторы между гильбертовыми пространствами и некоторые их классы.
§5. Фредгольмовы операторы и индекс.
Глава 4. Полинормированные пространства, слабые топологии и обобщенные функции.
§1. Полинормированные пространства.
§2. Слабые топологии.
§3. Пространства пробных и обобщенных функций.
§4. Обобщенные производные и вопросы строения обобщенных функций.
Глава 5. У врат спектральной теории.
§1. Спектры операторов и их классификация. Примеры.
§2. Немного алгебры: алгебры.
§3. Банаховы алгебры и спектры их элементов. Еще немного о фредгольмовости.
Глава 6. Гильбертовы сопряженные операторы и спектральная теорема.
§1. Гильбертова сопряженность: первые сведения.
§2. Самосопряженные операторы и их спектры. Теорема Гильберта—Шмидта.
§3. Взгляд сверху: инволютивные алгебры, С*-алгебры и алгебры фон Нойманна.
§4. Непрерывное функциональное исчисление и положительные операторы.
§5. Спектральная теорема в облике операторнозначного интеграла Римана—Стильтьеса.
§6. Борелево исчисление и спектральная теорема в облике операторнозначного интеграла Лебега.
§7. Геометрическая форма спектральной теоремы: модели и классификация.
§8. Отличнику: доказательство завершенной спектральной теоремы.
Глава 7. Преобразование Фурье.
§1. Классическое преобразование Фурье.
§2. Свертка и преобразование Фурье как гомоморфизм.
§3. Преобразование Фурье пробных и обобщенных функций.
§4. Преобразование Фурье квадратично интегрируемых функций.
§5. Кое-что о гармоническом анализе на группах.
Литература.
Обозначения.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Хелемский