Курс вычислительных методов, Шарый С.П., 2020

Курс вычислительных методов, Шарый С.П., 2020.

   Книга является систематическим учебником по курсу вычислительных методов и написана на основе лекций, читаемых автором на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета. Особенностью книги является изложение методов интервального анализа и результатов конструктивной математики, связанных с традиционными разделами численного анализа.




Интервальная арифметика.
Исходной идеей создания интервальной арифметики является наблюдение о том, что всё в нашем мире неточно, и нам в реальности чаще всего приходится работать не с точными значениями величин, которые образуют основу классической «идеальной» математики, а с целыми диапазонами значений той или иной величины. Например, множество вещественных чисел, которые точно представляются в цифровых ЭВМ, конечно, и из-за присутствия округления каждое из этих чисел, в действительности, является представителем интервала значений обычной вещественной оси R (см. Рис. 1.5-1.6).

Нельзя ли организовать операции и отношения между диапазонами-интервалами так, как это сделано для обычных точных значений? Чтобы можно было работать с ними, подобно обычным числам, опираясь на алгебраические преобразования, аналитические операции и т.п.? Результатом таких вычислений с диапазонами-интервалами станут оценки изменения интересующих нас величин, т. е. очень ценная и востребованная на практике информация. Ответы на поставленные вопросы в целом положительны, хотя и не столь просты, а свойства подучающейся «интервальной арифметики» оказываются непохожими на. пррт-вычные свойства операций с обычными числами. Дальнейшие исследования в этом направлении привели к появлению и развитию интервального анализа, одной из плодотворных ветвей современной вычислительной математики (см., к примеру, [25]).

Оглавление.
Предисловие.
Глава 1. Введение.
1.1 Погрешности вычислений.
1.2 Компьютерная арифметика.
1.3 Интервальная арифметика.
1.4 Интервальные расширения функций.
1.5 Обусловленность математических задач.
1.6 Устойчивость алгоритмов.
1.7 Элементы конструктивной математики.
1.8 Сложность задач и трудоёмкость алгоритмов.
1.9 Доказательные вычисления на ЭВМ.
Литература к главе 1.
Глава 2. Численные методы анализа.
2.1 Введение.
2.2 Интерполирование функций.
2.2а Постановка задачи и её свойства.
2.2б Интерполяционный полином Лагранжа.
2.2в Разделённые разности и их свойства.
2.2г Интерполяционный полином Ньютона.
2.2д Погрешность алгебраической интерполяции
2.3 Полиномы Чебышёва.
2.3а Определение и основные свойства.
2.3б Применения полиномов Чебышёва.
2.3в Обусловленность алгебраической интерполяции.
2.4 Интерполяция с кратными узлами.
2.5 Общие факты интерполяции.
2.5а Интерполяционный процесс.
2.5б Сводка результатов и обсуждение.
2.6 Сплайны.
2.6а Элементы теории.
2.6б Интерполяционные кубические сплайны.
2.6в Погрешность интерполирования сплайнами.
2.6г Экстремальное свойство кубических сплайнов.
2.7 Нелинейные методы интерполяции.
2.8 Численное дифференцирование.
2.8а Интерполяционный подход.
2.8б Оценка погрешности дифференцирования.
2.8в Метод неопределённых коэффициентов.
2.8г Полная погрешность дифференцирования.
2.9.Алгоритмическое дифференцирование.
2.10 Приближение функций.
2.10а Обсуждение постановки задачи.
2.10б Существование и единственность приближения.
2.10в Приближение в евклидовом подпространстве.
2.10г Геометрия наилучшего приближения.
2.10д Среднеквадратичное приближение из линейной оболочки векторов.
2.10е Псевдорешения систем линейных уравнений.
2.10ж Среднеквадратичное приближение функций.
2.11 Полиномы Лежандра.
2.11а Мотивация и определение.
2.11б Основные свойства полиномов Лежандра.
2.12 Численное интегрирование.
2.12а Постановка и обсуждение задачи.
2.12б Простейшие квадратурные формулы.
2.12в Квадратурная формула Симпсона.
2.12г Интерполяционные квадратурные формулы.
2.12д Дальнейшие формулы Ньютона-Котеса.
2.12е Метод неопределённых коэффициентов.
2.13 Квадратурные формулы Гаусса.
2.13а Задача оптимизации квадратурных формул.
2.13б Простейшие квадратуры Гаусса.
2.13в Выбор узлов для квадратурных формул Гаусса.
2.13г Практическое применение формул Гаусса.
2.13д Погрешность квадратур Гаусса.
2.14.Составные квадратурные формулы.
2.15.Сходимость квадратур.
2.16.Вычисление интегралов методом Монте-Карло.
2.17.Правило Рунге для оценки погрешности.
Литература к главе 2.
Глава 3. Численные методы линейной алгебры.
3.1.Задачи вычислительной линейной алгебры.
3.2.Теоретическое введение.
3.2а Краткий обзор линейной алгебры.
3.2б Основные понятия теории матриц.
3.2в Собственные числа и собственные векторы.
3.2г Разложения матриц, использующие их спектр.
3.2д Сингулярные числа и сингулярные векторы.
3.2е Сингулярное разложение матриц.
3.2ж Системы линейных алгебраических уравнений.
3.3.Нормы векторов и матриц.
3.3а Векторные нормы.
3.3б Топология на векторных пространствах.
3.3в Матричные нормы.
3.3г Подчинённые матричные нормы.
3.3д Топология на множествах матриц.
3.3е Энергетическая норма.
3.3ж Спектральный радиус.
3.3з Матричный ряд Неймана.
3.4 Приложения сингулярного разложения.
3.4а Исследование неособенности и ранга матриц.
3.4б Решение систем линейных уравнений.
3.4в Малоранговые приближения матрицы.
3.4г Метод главных компонент.
3.5 Обусловленность систем линейных уравнений.
3.5а Число обусловленности матриц.
3.5б Примеры хорошо и плохо обусловленных матриц
3.5в Матрицы с диагональным преобладанием.
3.5г Практическое применение числа обусловленности.
3.6 Прямые методы решения линейных систем.
3.6а Основные понятия.
3.6б Решение треугольных и трапецевидных линейных систем.
3.6в Метод Гаусса для решения линейных систем.
3.6г Матричная интерпретация метода Гаусса.
3.6д Метод Гаусса с выбором ведущего элемента.
3.6е Существование LU -разложения.
3.6ж Разложение Холесского.
3.6з Метод Холесского.
3.7.Методы на основе ортогональных преобразований.
3.7а Обусловленность и матричные преобразования.
3.7 Ортогональные преобразования и матричные вычисления.
3.7в QR-разложение матриц.
3.7г Ортогональные матрицы отражения.
3.7д Метод Хаусхолдера.
3.7е Матрицы вращения и метод вращений.
3.7ж Процессы ортогонализации.
3.8 Метод прогонки.
3.9 Стационарные итерационные методы.
3.9а Краткая теория.
3.9 Сходимость стационарных одношаговых методов.
3.9в Подготовка системы к итерационному процессу.
3.9г Оптимизация скалярного предобуславливателя.
3.9д Итерационный метод Якоби.
3.9е Итерационный метод Гаусса-Зейделя.
3.9ж Методы релаксации.
3.10 Нестационарные итерационные методы.
3.10а Теоретическое введение.
3.10б Метод спуска для минимизации функций.
3.10в Наискорейший градиентный спуск.
3.10г Метод минимальных невязок.
3.10д Метод сопряжённых градиентов.
3.11 Методы установления.
3.12 Теория А.А. Самарского.
3.13 Вычисление определителей и обратных матриц.
3.14 Оценка погрешности приближённого решения.
3.15 Линейная задача наименьших квадратов.
3.15а Постановка задачи и основные свойства.
3.15б Численные методы для линейной задачи наименьших квадратов.
3.16 Проблема собственных значений.
3.16а Обсуждение постановки задачи.
3.16б Обусловленность проблемы собственных значений.
3.16в Коэффициенты перекоса матрицы.
3.16г Круги Гершгорина.
3.16д Отношение Рэлея.
3.16е Предварительное упрощение матрицы.
3.17 Численные методы для несимметричной проблемы собственных значений.
3.17а Степенной метод.
3.17б Обратные степенные итерации.
3.17в Сдвиги спектра.
3.17г Базовый QR-алгоритм.
3.17д Модификации QR-алгоритма.
3.18 Численные методы для симметричной проблемы собственных значений.
3.18а Метод Якоби.
3.18б Численные методы сингулярного разложения.
Литература к главе 3.
Глава 4. Решение нелинейных уравнений и их систем.
4.1 Введение.
4.2 Вычислительно-корректные задачи.
4.2а Предварительные сведения и определения.
4.2б Задача решения уравнений не является вычислительно-корректной.
4.2в е-решения уравнений.
4.2г Недостаточность е-решений.
4.3 Векторные поля и их вращение.
4.3а Векторные поля.
4.3б Вращение векторных полей.
4.3в Индексы особых точек.
4.3г Устойчивость особых точек.
4.3д Вычислительно-корректная постановка.
4.4 Классические методы решения уравнений.
4.4а Предварительная локализация решений.
4.4б Метод дихотомии.
4.4в Метод простой итерации.
4.4г Метод Ньютона и его модификации.
4.4д Методы Чебышёва.
4.5 Классические методы решения систем уравнений.
4.5а Метод простой итерации.
4.5б Метод Ньютона и его модификации.
4.6 Интервальные системы линейных уравнений.
4.6а Интервальный метод Гаусса-Зейделя.
4.7 Интервальные методы решения уравнений.
4.7а Основы интервальной техники.
4.7б Одномерный интервальный метод Ньютона.
4.7в Многомерный интервальный метод Ньютона.
4.7г Метод Кравчика.
4.8 Глобальное решение уравнений и систем.
Литература к главе 4.
Обозначения
Краткий биографический словарь.
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Курс вычислительных методов, Шарый С.П., 2020 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Шарый