Автор, известный английский математик, поставил себе целью преодолеть страх математиков перед алгебраической геометрией, подобный страху нематематиков перед математикой. Примеры, задачи, рисунки и мотивировки занимают в книге больше места, чем формальный аппарат теории. Автор осторожно доводит читателя до содержательных результатов теории проективных алгебраических многообразий и оставляет его после критического обсуждения обобщений и обоснований (пучки, схемы и т. п.). Секреты специалистов, обычно сообщаемые лишь ученикам наедине, опубликованы здесь в открытую.
Для математиков всех специальностей от студентов-младшекурсников до алгебраических геометров, а также физиков-теоретиков.
Плоские коники.
Для мотивировки определения проективной плоскости займемся геометрией коник. Проективная геометрия впервые появляется на втором курсе в лекциях по геометрии. Напомню некоторые основные положения, делая упор на однородных координатах, но никак не затрагивая геометрию линейный подпространств и двойное отношение. Главная задача студента заключается в том, чтобы получить представление, как геометрические идеи (например, мысль о том, что «точки на бесконечности» соответствуют асимптотическим направлениям кривых) выражаются через координаты. Привлекательной чертой алгебраической геометрии является взаимодействие интуитивной геометрической картины (подсказывающей, чего следует ожидать) с точной формулировкой в координатах (позволяющей извлечь из интуиции пользу).
Оглавление.
Предисловие к русскому переводу.
Предисловие.
§0. Неформальное введение.
Почему же алгебраическая геометрия? Проблема выбора материала; различные геометрические категории, необходимость привлечения коммутативной алгебры, частично определенная функция; репутация автора. Необходимые предварительные сведения, взаимоотношение курса с различными предметами, список рекомендуемых книг.
Глава 1. Поиграем с плоскими кривыми.
§1. Плоские коники.
Общее представление о Р2 и однородных координатах; соотношение между А2 и Р2; параметризация. Каждая гладкая коника в Р2 изоморфна Р1. Простые случаи теоремы Безу: прямая пересекает кривую степени d в d точках, коника пересекает кривую степени d в 2d точках. Линейная система коник, проходящих через точки Pi,..., Рn.
§2. Кубики и групповой закон.
Кривая (у2 = х(х - )(х - X)) не может быть рационально параметризована. Линейные системы Sd(Pi,..., Рn); пучок кубик, проходящих через 8 точек «в общем положении». Групповой закон на кубике. «Таинственная» гексаграмма Паскаля.
Добавление к главе 1. Кривые и их род.
Топология неособых плоских комплексных кубик. Неформальное обсуждение рода кривой: топология, дифференциальная геометрия, модули, теория чисел, Морделл-Вейль-Фальтингс.
Глава 2. Категория аффинных многообразий.
§3. Аффинные многообразия и Nullstellensatz.
Нётеровы кольца, теорема Гильберта о базисе; соответствия V и I, неприводимые алгебраические множества, топология Зарисского, формулировка Nullstellensatz. Неприводимая гиперповерхность. Нормализация Нётер и доказательство Nullstellensatz; редукция к случаю гиперповерхности.
§4. Функции на многообразиях.
Координатное кольцо и полиномиальные отображения, морфизмы и изоморфизмы, аффинные многообразия. Поле рациональных функций и рациональные отображения, доминантные рациональные отображения и композиция рациональных отображений. Стандартные открытые множества. Закон сложения на эллиптической кривой является морфизмом.
Глава 3. Приложения.
§5. Проективная и бирациональная геометрии.
Мотивировка: существуют многообразия, не содержащиеся ни в каком аффинном многообразии. Однородные соответствия V и I. Проективное и аффинное. Примеры: квадратичные поверхности, поверхность Веронезе. Бирациональная эквивалентность, рациональные многообразия. Каждое многообразие бирационально эквивалентно гиперповерхности. Произведения.
§6. Касательное пространство и неособость, размерность.
Мотивировка: теорема о неявной функции, многообразия и гладкие многообразия. Определение аффинного касательного пространства. Множество неособых точек является плотным. Касательное пространство и m/m1, инвариантное определение касательного пространства. Размерность X равна tr degk k(Х). Разрешение особенностей с помощью раздутий.
§7. 27 прямых на кубической поверхности.
Прямые на неособой кубической поверхности S. Доказательство существования прямой методом исключения. Пять пар прямых, пересекающих данную прямую. S рациональна. Классическая конфигурация из 27 прямых. Гессиан. Случай, когда все прямые рациональны.
§8. Заключительные комментарии.
История и социологический аспект. Выбор тем, высоконаучные комментарии и технические замечания. Вместо предисловия. Благодарности.
Предметный указатель.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Алгебраическая геометрия для всех, Рид М., 1991 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу
Скачать - pdf - Яндекс.Диск.
Дата публикации:
Теги: учебник по геометрии :: геометрия :: Рид
Смотрите также учебники, книги и учебные материалы:
Следующие учебники и книги:
- Основы математического анализа, Числовые ряды, учебное пособие для СПО, Максимова О.Д., 2019
- Теоремы и задачи комбинаторной геометрии, Болтянский В.Г., Гохберг И.Ц., 1965
- Математика, Увлекательная наука, Гусев И.Е., 2017
- Математические фантазии, Слойер С., 1993
Предыдущие статьи:
- Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, Прасолов В.В., 2004
- Геометрия, Планиметрические задачи на построение, учебное пособие для СПО, Далингер В.А., 2019
- Многочлены, Прасолов В.В., 2003
- Элементы теории гомологий, Прасолов В.В., 2014