Метрические пространства, Сибириков Г.В., Мартынов Ю.А., 2012

Метрические пространства, Сибириков Г.В., Мартынов Ю.А., 2012.

Излагаются основные вопросы теории метрических пространств, в том числе и такие, которые зачастую остаются за пределами курсов математического анализа, читаемых в университетах: сепарабельность, теорема Бэра о категориях, равномерная непрерывность отображений метрических пространств и др. Во всех разделах приведены примеры, как поясняющие общие определения, так и выявляющие важные частные случаи. Для студентов физико-математических специальностей университетов.




Примеры.
Теорема. (Простейшие свойства компактов).
(a) Компактное метрическое пространство полно.
(b) Компактное множество в метрическом пространстве замкнуто.
(c) Замкнутое подмножество компакта является компактом.
(d) Компактное множество в метрическом пространстве ограничено.
(е) Множество, лежащее в подпространстве L пространства М, компактно в L тогда и только тогда, когда оно компактно в М.

Доказательство, (а) Пусть пространство М компактно и (х_n) -последовательность Коши в М. По определению 1 найдется сходящаяся подпоследовательность (х_nk)    последовательности (х_n).
По свойству 16.2(d) исходная последовательность (х_n) сходится к тому же пределу. Следовательно, пространство М полно. ◊

(b) Пусть множество КаМ компактно и последовательность (х_n) его точек сходится в пространстве М к точке х. По определению 1 некоторая подпоследовательность (х_nk) последовательности (х_n) сходится к некоторой точке у Œ К. По свойству 10.2(с) справедливо равенство у = х. Поэтому хŒК. Применяя критерий 10.10(с), заключаем, что множество К замкнуто в М. ◊

Оглавление
Предисловие
§1.Евклидовы пространства R_n
§2.Определение метрического пространства
§3.Примеры метрических пространств
§4.Шары
§5.Открытые множества
§6.Замкнутые множества
§7.Замыкание множества
§8.Внутренность множества
§9.Граница множества
§10.Сходящиеся последовательности
§11.Сепарабельные пространства
§12.Предел отображения
§13.Непрерывные отображения
§14.Гомеоморфные пространства
§15.Связность
§16.Полные метрические пространства
§17.Основные свойства полных пространств
§18.Теоремы Бэра
§19.Принцип неподвижной точки
§20.Компактные метрические пространства
§21.Непрерывные отображения компактов
§22.Пространство непрерывных функций на компакте
Литература
Указатель обозначений
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Сибириков :: Мартынов